円錐振り子

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 円錐振り子は「鉛直はつり合い・水平は円運動」の混成である。回転半径が $r=L\sin \theta$ と糸の長さで書ける点、水平の式で $\sin \theta$ が両辺から消える点、の 2 つが急所になる。

① 2 本の式を立てる。

鉛直(つり合い):

$$S\cos \theta =mg\cdots (1)$$

水平(円運動の運動方程式、半径 $L\sin \theta$):

$$S\sin \theta =m(L\sin \theta ){\omega }^2\cdots (2)$$

② 張力を求める。 (2) の両辺から $\sin \theta$ が消えて

$$S=mL{\omega }^2=0.50\times 1.6\times 3.5^2=0.80\times 12.25=9.8\mathrm{N}$$

③ 角度を求める。 (1) より

$$\cos \theta =\frac{mg}{S}=\frac{0.50\times 9.8}{9.8}=0.50⟹\theta =60°$$

まとめ $S=mL{\omega }^2$ という結果は「張力は角度によらず、糸の長さと角速度だけで決まる」ことを示す。速く回すほど $S$ が増え、$\cos \theta =\frac{g}{L{\omega }^2}$ が小さくなって糸は水平に近づく——ただし $\cos \theta >0$ なので完全に水平にはなれない。遊園地の回転ブランコの物理そのものである。

別解

tanθ の式から入るルート。 (2)÷(1) で

$$\tan \theta =\frac{L\sin \theta {\omega }^2}{g}$$

$\sin \theta =\tan \theta \cos \theta$ を使って整理すると $\cos \theta =\frac{g}{L{\omega }^2}=\frac{9.8}{1.6\times 12.25}=0.50$。先に角度を出し、(1) から $S=\frac{mg}{\cos \theta }=\frac{4.9}{0.50}=9.8\mathrm{N}$。どちらの順でも同じ答えに着く。$\cos \theta =\frac{g}{L{\omega }^2}$ は円錐振り子の重要な中間結果である。