物理 / 円運動と万有引力

ケプラーの第 3 法則で周期を求める

★★ 標準ケプラーの法則

問題

火星の軌道長半径は地球の $1.5$ 倍である。火星の公転周期は何年か。 $3.375 = 1.84$ とする。

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地球を基準(周期 1 年、軌道 1)にとれば、比の計算だけで済む。1.5 の 3 乗を出してから平方根をとる。

解答・解説

T²/a³ が太陽系で共通。地球(T=1 年、a=1)を基準に、T=√(1.5³)=√3.375 年。

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 太陽を回る天体はすべて $\frac{T ^{2}}{a ^{3}}$ が共通(ケプラーの第 3 法則)。地球を単位にとる(周期 1 年・軌道長半径 1 天文単位)と、比例定数を求めずに比だけで解ける。

① 比の式。

$\frac{T _{火}^{2}}{1 ^{2}} = \frac{1. 5 ^{3}}{1 ^{3}} = 3.375$

② 解く。

$T_{火} = 3.375 = 1.84 \approx 1.8 年$

軌道長半径 1.5 倍の火星。T²∝a³ で周期を求める

まとめ 実際の火星の公転周期は 687 日 $= 1.88$ 年で、ほぼ一致する。ケプラーが惑星の観測データから見抜いたこの法則は、「軌道の大きさを測れば周期がわかる(逆も)」という太陽系の换算表である。地球基準の比で解く手筋は、静止衛星(s12)でも同じように使う。

答

約 $1.8$ 年( $1.84$ 年)

指数で処理するルート。 $T \propto a^{3/2}$ だから

$T = 1. 5^{1.5} = 1.5 \times 1.5 = 1.5 \times 1.22 = 1.84 年$

$a^{3/2} = a a$ の分解は暗算向きで、 $4^{3/2} = 8$ (b11)もこの形なら一瞬である。2 乗 3 乗則は $3/2$ 乗則と言い換えて携帯すると軽い。