地球を回る楕円軌道(面積速度とエネルギー)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 楕円軌道は途中の速度の向きが刻々と変わるので、まともに追うと手に負えない。

そこで 近地点と遠地点だけ に注目する。この2点では速度が中心線に垂直になり、扱いが一気に楽になる。

使う道具は3つ。速さの比は 面積速度一定(角運動量保存)、速さの大きさは エネルギー保存、周期は ケプラーの第3法則。どれを何に使うかの分業を最初に決めるのがコツである。

① 面積速度一定。 近地点・遠地点では動径と速度が垂直なので、面積速度は $\frac{1}{2}rv$ と書ける。これが一定だから

$$R{v}_p=3R{v}_a⟹v_a=\frac{v_p}{3}$$

② エネルギー保存。 力学的エネルギー(運動+位置)は軌道上で一定。

$$\frac{1}{2}m{v}_p^2-\frac{GMm}{R}=\frac{1}{2}m{v}_a^2-\frac{GMm}{3R}$$

$v_a=\frac{v_p}{3}$ と $GM=g{R}^2$ を代入して整理する。

$$\frac{1}{2}{v}_p^2\left(1-\frac{1}{9}\right)=gR\left(1-\frac{1}{3}\right)$$

$$\frac{1}{2}{v}_p^2\cdot \frac{8}{9}=\frac{2}{3}gR⟹v_p^2=\frac{3}{2}gR$$

よって $v_p=\sqrt{\frac{3gR}{2}}$、$v_a=\frac{1}{3}\sqrt{\frac{3gR}{2}}$ である。

③ 周期(ケプラーの第3法則)。 長半径は $a=\frac{R+3R}{2}=2R$。

$$T=2\pi \sqrt{\frac{a^3}{GM}}=2\pi \sqrt{\frac{(2R{)}^3}{g{R}^2}}=2\pi \sqrt{\frac{8R}{g}}=4\pi \sqrt{\frac{2R}{g}}$$

まとめ 楕円軌道は「近地点・遠地点の2点」+「角運動量保存とエネルギー保存の2式」で必ず解ける。周期だけは速さと無関係で、長半径さえ分かれば第3法則で一発である。

別解

ヴィス・ヴィヴァの式を使うルート。 楕円軌道上の速さと距離の関係を1本にまとめた式

$$v^2=GM\left(\frac{2}{r}-\frac{1}{a}\right)$$

を認めると、近地点 $r=R,a=2R$ を入れて

$$v_p^2=g{R}^2\left(\frac{2}{R}-\frac{1}{2R}\right)=g{R}^2\cdot \frac{3}{2R}=\frac{3}{2}gR$$

と、エネルギー保存の計算を1行で終えられる。この式自体がエネルギー保存と長半径の定義から導かれるので、中身は同じである。速さの比 $v_a/v_p=1/3$ は面積速度一定からで変わらない。