物理 / 円運動と万有引力

連星の周期(ケプラー第3法則の一般化)

最難関編万有引力円運動重心

問題

宇宙空間で、質量 $m$ の星 A と質量 $2 m$ の星 B が、たがいの万有引力だけを受けて、共通の重心のまわりをそれぞれ等速円運動している。2 星間の距離は常に $d$ に保たれている。万有引力定数を $G$ とする。

(1) 重心から星 A、星 B までの距離をそれぞれ求めよ。

(2) 円運動の角速度 $ω$ を求めよ。

(3) 周期 $T$ を、全質量 $M = 3 m$ を用いた形にまとめよ。

2 星が共通重心を挟んで回る。重心からの距離は質量の逆比

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2つの星は同じ角速度で回る(いつも一直線+重心を挟んで反対側)。重心からの距離は質量の逆比。星1つを選び、「向心力=万有引力」の運動方程式を立てる——向心力に使う半径は重心からの距離、万有引力に使う距離は星間の d であることに注意。

解答・解説

2星の運動方程式を別々に立てる。向心力はどちらも同じ万有引力。重心からの距離は質量の逆比になることを使うと、ω が1つに決まる。

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 2 体が回る問題でも、立てる式はいつもの 円運動の運動方程式 1本ずつである。

まず重心の位置を押さえる。重心からの距離は質量の逆比だから、軽い A の方が大きく回る。次に星を1つ選び、「向心力=万有引力」を立てる。

注意点は、向心力の半径は重心からの距離、万有引力の距離は星間 $d$ という2つの長さを混同しないこと。

① 重心からの距離。 重心は質量の逆比に内分する点。 $A : B = m : 2 m$ だから、重心からの距離は逆比で

$r_{A} = \frac{2 m}{m + 2 m} d = \frac{2 d}{3}, r_{B} = \frac{m}{m + 2 m} d = \frac{d}{3}$

② 運動方程式。 2 星は同じ角速度 $ω$ で回る。星 A について、向心力(半径 $r_{A}$ )がはたらく万有引力(距離 $d$ )に等しい。

公式万有引力

F = \frac{G m \cdot 2 m}{d ^{2}}

、向心力

= m r_{A} ω^{2}

$m r_{A} ω^{2} = \frac{G m ( 2 m )}{d ^{2}}$

$m \cdot \frac{2 d}{3} \cdot ω^{2} = \frac{2 G m ^{2}}{d ^{2}} ⟹ ω^{2} = \frac{3 G m}{d ^{3}}$

星 B で立てても( $2 m \cdot r_{B} ω^{2} = \frac{2 G m ^{2}}{d ^{2}}$ )同じ $ω$ になり、つじつまが合う。

③ 周期。 $T = \frac{2 π}{ω}$ より

$T = 2 π \frac{d ^{3}}{3 G m} = 2 π \frac{d ^{3}}{GM} (M = 3 m)$

まとめ 連星でも「向心力=万有引力」を星ごとに立てるだけ。周期を全質量 $M$ で書くと $T = 2 π d^{3} / GM$ となり、太陽と惑星のケプラー第3法則( $M$ =太陽質量)とそっくり同じ形に一般化される。

答

A: $\frac{2 d}{3}$ 、B: $\frac{d}{3}$ 、 $ω = \frac{3 G m}{d ^{3}}$ 、 $T = 2 π \frac{d ^{3}}{GM}$

換算質量で1体問題にするルート。 相対座標(星間ベクトル)に注目すると、2体問題は「質量 $μ = \frac{m \cdot 2 m}{m + 2 m} = \frac{2 m}{3}$ の1粒子が、距離 $d$ で全質量 $M = 3 m$ からの引力を受ける」1体問題に化ける。

$μ d ω^{2} = \frac{G m ( 2 m )}{d ^{2}} ⟹ \frac{2 m}{3} d ω^{2} = \frac{2 G m ^{2}}{d ^{2}} ⟹ ω^{2} = \frac{3 G m}{d ^{3}}$

同じ答えに一発で着く。換算質量は大学で学ぶ考え方だが、連星の周期公式が全質量だけで決まる理由がすっきり見える。