空気抵抗で衛星が速くなるパラドックス

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 「抵抗で減速するはず」という直感が、この問題では裏切られる。カギは 運動エネルギーと全エネルギーが逆に動く ことにある。

まず円軌道の $K,U,E$ を $r$ だけで書く。すると $K=-E$、$U=2E$ という関係(ビリアル定理)が現れる。抵抗が奪うのは「全」エネルギー $E$ だが、その分 $r$ が減り、$K$ は逆に増える。ここを数式で押さえる。

① 円軌道の各量。 円軌道は「向心力=万有引力」から $v=\sqrt{\frac{GM}{r}}$。よって

$$K=\frac{1}{2}m{v}^2=\frac{GMm}{2r},U=-\frac{GMm}{r}$$

$$E=K+U=\frac{GMm}{2r}-\frac{GMm}{r}=-\frac{GMm}{2r}$$

ここで $K=-E$、$U=2E$ の関係(ビリアル)が読み取れる。

② パラドックスの説明。 抵抗は全エネルギー $E=-\frac{GMm}{2r}$ を減らす。$E$ が減る(より負になる)とは、$r$ が 小さくなる こと。

すると $K=\frac{GMm}{2r}$ は逆に 大きく なる。位置エネルギー $U=-\frac{GMm}{r}$ は $2E$ 分、つまり全エネルギーの減少の2倍のペースで下がる。

差し引き、抵抗が $|\Delta E|$ を奪っても、$U$ は $2|\Delta E|$ 下がるので、運動エネルギーは $|\Delta E|$ 増える。だから速さは増す。抵抗がした負の仕事より大きなエネルギーが、重力の位置エネルギーから運動エネルギーへ回された、というのが正体である。

③ 速さの増加率。 $v\propto r^{-1/2}$ なので、$r$ が $1.0\%$ 減ると

$$\frac{\Delta v}{v}\approx -\frac{1}{2}\cdot \frac{\Delta r}{r}=-\frac{1}{2}\times (-0.010)=+0.0050$$

すなわち速さは約 $0.50\%$ 増える。

まとめ 束縛された重力系では $K=-E$。だから全エネルギーが減るほど運動エネルギーは増える。空気抵抗で衛星が加速するのはこのためで、「負の熱容量」とも呼ばれる、重力系に特有の直感に反する性質である。

別解

具体数値で確かめるルート。 半径 $r$ と $r^{\prime }=0.99r$ で速さを比べる。

$$\frac{v^{\prime }}{v}=\sqrt{\frac{r}{r^{\prime }}}=\sqrt{\frac{1}{0.99}}=1.00504\cdots$$

確かに約 $0.50\%$ 増。全エネルギーの比は $\frac{E^{\prime }}{E}=\frac{r}{r^{\prime }}=\frac{1}{0.99}=1.0101$ で、$E$(負)は $1.0\%$ ほど大きさが増す(より負になる)。微分で出した近似 $-\frac{1}{2}\frac{\Delta r}{r}$ と数値がぴたり合う。