物理 / 円運動と万有引力

摩擦力で回る物体の限界

★★ 標準向心力摩擦

問題

回転台の上、中心から $0.20 m$ の位置に物体を置く。物体と台の間の静止摩擦係数は $0.50$ である。台の角速度をゆっくり大きくしていくとき、物体が滑り出さずにいられる角速度の最大値を求めよ。重力加速度の大きさを $9.8 m/ s^{2}$ とする。

回転台の上に置いた物体。中心からの距離は 0.20 m で、角速度をゆっくり大きくしていく

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速く回すほど必要な向心力は増えるが、摩擦力には上限がある。「必要な力=摩擦の上限」となるときが限界。式を立てると質量 m が消えることにも注目しよう。

解答・解説

向心力を出せるのは摩擦力だけ。必要な向心力 mrω² が最大静止摩擦 μmg を超えたら滑る。mrω²=μmg から ω=√(μg/r)。

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 物体を円運動させている力は摩擦力(b08)。角速度を上げると必要な向心力 $m r ω^{2}$ は 2 乗で増えるが、摩擦力は最大 $μ m g$ までしか出せない。需要が供給の上限に達した瞬間が限界である。

① 限界の式。

$m r ω^{2} = μ m g$

$m$ が消えて

$ω = \frac{μg}{r}$

② 数値を入れる。

$ω = \frac{0.50 \times 9.8}{0.20} = 24.5 = 4.95 \approx 5.0 rad/s$

まとめ $m$ が消えるので、重い物体も軽い物体も同じ角速度で滑り出す。また $ω_{ma x} \propto \frac{1}{r}$ だから、外側に置いた物体ほど先に滑る——回転する円盤の上の砂が外側から飛ばされていく様子が、この式に書かれている。

答

約 $5.0 rad/s$ ( $ω = 24.5 = 4.95 rad/s$ )

遠心力の立場で見るルート。 台と一緒に回る観測者には、外向きの遠心力 $m r ω^{2}$ が見える。物体が静止していられるのは摩擦力がこれを支えられる間、つまり

$m r ω^{2} \leq μ m g$

等号が限界で $ω = μg / r = 5.0 rad/s$ 。慣性系(向心力の需要と供給)でも回転系(遠心力とのつり合い)でも、同じ式・同じ答えになる。