物理 / 円運動と万有引力

半球面のてっぺんから滑る球

★★★ 応用鉛直面内の円運動エネルギー保存文字式

問題

半径 $r$ のなめらかな半球面の頂上に小球を置き、ごくわずかに押して滑らせた。小球が球面から離れるのは、頂上から測った角 $θ$ (中心から見た角)がいくらのときか。 $cos θ$ で答えよ。また、そのとき小球は頂上から鉛直方向に何 m 下がった位置にいるか( $r$ で表せ)。

なめらかな半球面のてっぺんから滑り出す球

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「離れる」を式にすると、面が押す力 N=0。運動方程式(半径方向)とエネルギー保存の 2 本を用意し、N=0 を代入して cosθ の方程式にする。s07 の「T=0」と同じ型の限界条件である。

解答・解説

方針

エネルギー保存 v²=2gr(1−cosθ) と、半径方向の運動方程式 mgcosθ−N=mv²/r。離れる条件 N=0 を課すと cosθ=2(1−cosθ) から cosθ=2/3。

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 滑り落ちる球は、速くなるほど大きな向心力が必要になる。供給源は重力の半径方向成分 $m g cos θ$ だが、これは $θ$ とともに減っていく。需要が供給を上回った瞬間、面は引っ張れない( $N \geq 0$ )ので球は離れる。限界は $N = 0$ である。

① エネルギー保存。 頂上からの落下高さは $r (1 - cos θ)$ だから

$v^{2} = 2 g r (1 - cos θ)$

② 半径方向の運動方程式。 中心向きを正として

$m g cos θ - N = \frac{m v ^{2}}{r}$

③ 離れる条件 N=0。

$g cos θ = \frac{v ^{2}}{r} = 2 g (1 - cos θ)$

$3 cos θ = 2 ⟹ cos θ = \frac{2}{3}$

下がった高さは

$r (1 - cos θ) = \frac{r}{3}$

まとめ 出発の速さによらず(静かに滑り出す限り)、半径の 1/3 だけ下がったところで必ず離れる——きれいな普遍量である。ドームの屋根を滑る雪、丸い岩から滑り落ちる人。どれも $cos θ = \frac{2}{3}$ ( $θ \approx 48°$ )で宙に舞う。

答

$cos θ = \frac{2}{3}$ 。頂上から $\frac{r}{3}$ 下がった位置

別解

遠心力の立場で見るルート。 球と一緒に動く立場では、外向きの遠心力 $\frac{m v ^{2}}{r}$ が見える。面に押しつける正味の力は $m g cos θ - \frac{m v ^{2}}{r}$ で、これが 0 になったら離れる。

$v^{2} = 2 g r (1 - cos θ)$ を入れれば同じ方程式 $3 cos θ = 2$ 。「遠心力が重力の押しつけを食い尽くした瞬間に離陸する」という言い方は、感覚的に覚えやすい。

ポイント

離れる条件は N=0
エネルギー+半径方向の運動方程式
cosθ=2/3、落下 r/3(初速によらない)

よくある間違い

落下高さを rcosθ とする(r(1−cosθ))
重力の半径方向成分を mgsinθ とする
N=0 でなく v=0 を条件にする