重力加速度を万有引力から導く

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 ふだん使っている重力 $mg$ の正体は、地球全体からの万有引力である。2 つの表現を等しいと置けば、$g$ が地球の質量と半径で書けるはずだ。

① 等式を立てる。

$$mg=G\frac{Mm}{R^2}$$

両辺の $m$ が消えて

$$g=\frac{GM}{R^2}$$

($m$ が消える=重力加速度は落ちる物体の質量によらない。)

② 数値を代入する。

$$g=\frac{6.7\times 10^{-11}\times 6.0\times 10^{24}}{(6.4\times 10^6{)}^2}=\frac{40.2\times 10^{13}}{40.96\times 10^{12}}=9.8m/{\mathrm{s}}^2$$

まとめ 教わってきた $9.8m/{\mathrm{s}}^2$ が、地球の質量・半径・$G$ の 3 つから計算で再現できた。$g=\frac{GM}{R^2}$ は、これ以降の人工衛星・脱出速度の計算で「$GM=g{R}^2$」という便利な置き換えとして何度も使う、この単元の要の式である。

別解

月でも使えることを確かめるルート。 同じ式に月の質量 $7.3\times 10^{22}\mathrm{kg}$、半径 $1.7\times 10^6\mathrm{m}$ を入れると $g_{月}=1.7m/{\mathrm{s}}^2$——地球の約 $\frac{1}{6}$ が出る(a07 で詳しく)。

$g=\frac{GM}{R^2}$ は地球専用の式ではなく、どの天体でもその表面重力を与える公式である。式の適用範囲の広さごと覚えておきたい。