月へ向かうのに必要な最小の速さ

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 月へ行くのに必要なエネルギーを見積もる問題である。

いちばんの関門は、どこまで登れば楽になるかを決めること。地球と月の引力がつり合う点を越えれば、あとは月に引かれて勝手に落ちていく。だからその点に「かろうじて届く」のが最小条件になる。

計算では $M$ が与えられていないが、$g=\frac{GM}{R^2}$ から $GM=g{R}^2$ と置き換えられる。この置換は万有引力の計算の常套手段である。

① つり合う点。 地球の中心から距離 $x$ の点で、両者の引力が等しいとする。

$$\frac{GMm}{x^2}=\frac{G(M/81)m}{(d-x{)}^2}$$

整理すると

$${\left(\frac{d-x}{x}\right)}^2=\frac{1}{81}⟹\frac{d-x}{x}=\frac{1}{9}$$

よって $x:(d-x)=9:1$、

$$x=\frac{9}{10}d=3.42\times 10^8\mathrm{m}$$

質量は81倍も違うのに、つり合う点は月から $1/10$ のところ。$\sqrt{81}=9$ がそのまま効いている。

② 必要な初速。 地表($r=R$、月からは $d-R$)から、つり合う点($r=x$、月からは $d-x$)へ、速さ0で届く条件をエネルギー保存で書く。両辺を $m$ で割ると質量が消える。

$$\frac{1}{2}{v}^2-\frac{GM}{R}-\frac{GM/81}{d-R}=-\frac{GM}{x}-\frac{GM/81}{d-x}$$

$GM=g{R}^2=9.8\times (6.4\times 10^6{)}^2=4.01\times 10^{14}$ を使って各項を計算すると

$$\frac{GM}{R}=6.27\times 10^7,\frac{GM/81}{d-R}=1.3\times 10^4$$

$$\frac{GM}{x}=1.17\times 10^6,\frac{GM/81}{d-x}=1.30\times 10^5$$

したがって

$$\frac{1}{2}{v}^2=6.27\times 10^7+1.3\times 10^4-1.17\times 10^6-1.30\times 10^5=6.14\times 10^7$$

$$v=\sqrt{2\times 6.14\times 10^7}=1.11\times 10^{4}m/s$$

約 $11.1km/s$ である。

③ 脱出速度と比べる。 地球の脱出速度は

$$v_{\mathrm{esc}}=\sqrt{2gR}=\sqrt{2\times 9.8\times 6.4\times 10^6}=1.12\times 10^{4}m/s$$

比を取ると

$$\frac{1.11\times 10^4}{1.12\times 10^4}=0.99$$

わずか $1\%$ しか小さくない。 月まで行くのは、地球の重力から完全に逃げ出すのとほとんど同じ手間だということである。

理由は①の位置にある。つり合う点は月のすぐ近くにあり、そこまで来ると地球の重力の井戸はもう十分に浅い。深い井戸をほとんど登りきったところで、ようやく月の助けが得られる。実際、上の計算で月の引力が助けてくれたぶんは $0.1\%$ 程度しかない。

④ その先。 つり合う点を越えると、月の引力のほうが強くなる。位置エネルギーで言えば、この点は2つの井戸のあいだの 峠 にあたる。

峠を越えたら下り坂だから、ロケットは速さを増しながら月へ落ちていく。逆に少しでも手前で止まれば、地球へ引き戻される。つり合ってはいるが不安定な点である。

まとめ 引力がつり合う点は「距離の比が質量の平方根の比」で決まり、大きく月側に寄る。そこまで登り切るのに要るエネルギーは脱出速度とほとんど変わらない。位置エネルギーの地形を「2つの井戸と、そのあいだの峠」として描くと、話の全体が1枚の絵になる。

発展 — 一歩先へ。 実際の地球と月は共通の重心のまわりを回っている。すると回る立場での遠心力も加えた「有効な位置エネルギー」を考える必要が出てくる。その地形では峠が5か所に増え、ラグランジュ点と呼ばれる。

ラグランジュ点では物体が地球と月に対して位置を保てるので、観測装置の置き場として便利である。地球と太陽の系の $L_2$ 点に置かれた宇宙望遠鏡が、その代表例である。

別解

大きい項と小さい項を見分けて、暗算で見通すルート。 ②の計算では、月に関する項が地球の項よりずっと小さかった。そこで思い切って月を無視し、「地球の重力だけで $x=0.9d$ まで登る」として見積もってみる。

$$\frac{1}{2}{v}^2=GM\left(\frac{1}{R}-\frac{1}{x}\right)=4.01\times 10^{14}\times (1.563\times 10^{-7}-2.92\times 10^{-9})$$

$$=6.15\times 10^7⟹v\fallingdotseq 1.11\times 10^{4}m/s$$

きちんと計算した値と $0.1\%$ しか違わない。

さらに $\frac{1}{x}$ の項も $\frac{1}{R}$ に比べれば小さいので、これも落としてしまうと

$$v\fallingdotseq \sqrt{\frac{2GM}{R}}=\sqrt{2gR}$$

となり、そのまま脱出速度の式になる。「月へ行く速さはほぼ脱出速度」という③の結論が、計算するまでもなく見えていた ことになる。

どの項が効いてどの項が効かないかを先に見分けておくと、答えの姿を計算前に描ける。物理の見積もりでは、この感覚が細かい計算より役に立つことも多い。