物理 / 円運動と万有引力

楕円軌道と面積速度(ケプラーの第 2 法則)

★★ 標準ケプラーの法則楕円軌道

問題

彗星が太陽のまわりを楕円軌道で回っている。太陽に最も近い点(近日点)での太陽からの距離は $r$ 、最も遠い点(遠日点)での距離は $4 r$ である。近日点での速さが $8.0 km/s$ のとき、遠日点での速さを求めよ。

彗星の楕円軌道。太陽 S は焦点にあり、近日点までの距離が r、遠日点までが 4r

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「太陽と彗星を結ぶ線分が単位時間に描く面積」が軌道上のどこでも同じ、というのが第 2 法則。近日点と遠日点では速度が距離の方向と直角なので、面積速度は ½rv という簡単な形になる。

解答・解説

面積速度一定(ケプラーの第 2 法則)。近日点・遠日点では速度が動径と垂直なので rv=一定。r×8.0=4r×v から v=2.0 km/s。

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 ケプラーの第 2 法則(面積速度一定)を数式にして使う。一般の点では扱いにくいが、近日点と遠日点では速度が動径と垂直なので、面積速度は $\frac{1}{2} r v$ という積の形になる。

定理面積速度一定: 近日点・遠日点では

\frac{1}{2} r_{1} v_{1} = \frac{1}{2} r_{2} v_{2}

r v

が一定)

① 式を立てる。

$r \times 8.0 = 4 r \times v$

② 解く。

$v = \frac{8.0}{4} = 2.0 km/s$

まとめ 距離 4 倍なら速さ 1/4。彗星は太陽に近づくと猛烈に加速し、遠ざかると気長に漂う——ハレー彗星が 76 年周期のほとんどを太陽から遠い暗がりで過ごす理由である。面積速度一定の正体は角運動量保存だが、高校では「近日点・遠日点で $r v$ 一定」の形で使えれば十分に強い。

答

$2.0 km/s$

面積の絵で納得するルート。 同じ時間 $Δ t$ に描く扇形(近似三角形)の面積は、近日点では「底辺 $8.0Δ t$ ×高さ $r$ 」、遠日点では「底辺 $v Δ t$ ×高さ $4 r$ 」。等しいと置けば

$8.0 r = 4 r v ⟹ v = 2.0 km/s$

「近くでは速く動かないと同じ面積を稼げない」——図形の言葉で法則を覚えると、式の形を忘れても復元できる。