物理 / 円運動と万有引力

振り子の傾きから加速度を測る

★★★ 応用慣性力

問題

一定の加速度で水平に走る電車の中で、天井からつるした質量 $0.20 kg$ の小球が、鉛直から $37°$ 傾いて静止して見えた。 $sin 37° = 0.60$ 、 $cos 37° = 0.80$ 、重力加速度の大きさを $9.8 m/ s^{2}$ とする。(1) 電車の加速度の大きさ (2) 糸の張力をそれぞれ求めよ。

傾き 37° から電車の加速度を逆算する(振り子=加速度計)

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これまで「加速度→傾き」を計算してきたが、今度は「傾き→加速度」の逆読み。tanθ=a/g をひっくり返すだけで、振り子が加速度計に変わる。tan37°=0.60/0.80 で出せる。

解答・解説

方針

b07・s04 の逆問題。tanθ=a/g を a について解く。張力は鉛直成分のつり合い Tcosθ=mg から。

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $tan θ = \frac{a}{g}$ という関係は、角度を測れば加速度がわかるという逆向きの読み方ができる。ぶら下げた振り子は、そのまま加速度計になるのである。

① 加速度。

$a = g tan 37° = 9.8 \times \frac{0.60}{0.80} = 9.8 \times 0.75 = 7.35 \approx 7.4 m/ s^{2}$

② 張力。 鉛直方向のつり合い $T cos 37° = m g$ より

$T = \frac{m g}{cos 37°} = \frac{0.20 \times 9.8}{0.80} = \frac{1.96}{0.80} = 2.45 \approx 2.5 N$

まとめ 検算として s04 の別ルート $T = m g^{2} + a^{2} = 0.20 \times 12.25 = 2.45 N$ ✓( $9.8 : 7.35 : 12.25 = 4 : 3 : 5$ )。スマートフォンの加速度センサーも原理はこの「傾き・変位から加速度を逆算する」仕組みで、吊るした重りが最古の加速度計だったと言える。

答

(1) $a = g tan 37° = 7.35 \approx 7.4 m/ s^{2}$ (2) $T = \frac{m g}{cos 37°} = 2.45 \approx 2.5 N$

別解

見かけの重力で一気に見るルート。 傾き $37°$ は「見かけの重力が鉛直から $37°$ 傾いた」こと。見かけの重力加速度の大きさは $\frac{g}{cos 37°} = 12.25 m/ s^{2}$ 、その水平成分が電車の加速度

$a = \frac{g}{cos 37°} \times sin 37° = 12.25 \times 0.60 = 7.35 m/ s^{2}$

張力は $T = m \times (見かけの g) = 0.20 \times 12.25 = 2.45 N$ 。「見かけの重力」1 本で 2 問とも片づく整理法である。

ポイント

a=g tanθ(振り子は加速度計)
T=mg/cosθ=m√(g²+a²)
4:3:5 の三角形で検算

よくある間違い

a=g sinθ とする
張力を mg cosθ と掛けてしまう(割る)
37° の sin と cos を取り違える