物理 / 円運動と万有引力

糸を引くと速くなる

★★★★ 難関面積速度向心力仕事

問題

なめらかな水平面の中央に小さな穴があいており、そこに軽い糸を通してある。面の上では糸の先に質量 $m = 0.50 kg$ の小球が結んであり、面の下では糸を手で持っている。

はじめ、小球は穴を中心とする半径 $r_{1} = 0.40 m$ の円周上を、速さ $v_{1} = 2.0 m/s$ で等速円運動している。ここから糸をゆっくり引き下げ、半径を $r_{2} = 0.20 m$ にした。

(1) 糸が小球に及ぼす力の向きに注目して、半径が変わるあいだ変わらない量を1つ挙げよ。

(2) 半径が $r_{2}$ になったときの小球の速さを求めよ。

(3) 半径が $r_{1}$ のときと $r_{2}$ のときの糸の張力を、それぞれ求めよ。

(4) 手が糸を引くためにした仕事を求めよ。

上から見た図。なめらかな水平面の中央にあいた穴に糸を通し、下へ引く

ヒントを見る

力の向きが1点を向いたままのとき、その点のまわりで保たれる量がある。円運動に近い形なら、その量は半径と速さの積で書ける。エネルギー保存を先に使ってはいけない理由も、力の向きと動く向きの関係を見れば分かる。

解答・解説

方針

糸の力はつねに穴(中心)を向いている。中心を向く力しかはたらかないとき、面積速度は一定になる。惑星の運動でケプラーの第2法則が成り立つのとまったく同じ理屈である。一方でエネルギーは保存しない。糸を引くあいだ、力の向きと動く向きがそろうので手が仕事をするからだ。速さは面積速度から、仕事はエネルギーの差から、と役割を分ける。

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 引いただけなのに速くなる。その理由を押さえたい。

糸の力はいつでも穴(中心)を向いている。中心を向く力は、中心のまわりに回す働きをもたない。だから回転の勢いにあたる量が変わらない。これはケプラーの第2法則(面積速度一定)とまったく同じ理屈である。惑星に働く引力が太陽を向いているから面積速度が一定になる、あの話がそのまま使える。

一方でエネルギーは変わる。糸を引くと力の向きと動く向きに共通の成分が生まれるので、手は仕事をしている。したがって速さをエネルギー保存から出すことはできない。まず面積速度から速さを出し、そのあとで仕事を求める、という順序がここで決まる。

① 変わらない量。 糸が小球を引く力は、つねに穴を向いている。中心を向く力だけを受ける物体では、面積速度が一定に保たれる。

定理面積速度一定(ケプラーの第2法則) 中心を向く力だけを受ける物体は、中心のまわりに掃く面積の速さが一定である。速度が半径に垂直な瞬間には

\frac{1}{2} r v

と書ける

いまは速度がつねに半径に垂直なので、 $r v$ が一定に保たれる。

中心を向く力しかはたらかないと、同じ時間に掃く面積が等しくなる。半径が半分なら角度は4倍、弧の長さは2倍。つまり速さが2倍になる

② 引いたあとの速さ。

$r_{1} v_{1} = r_{2} v_{2} ⟹ v_{2} = \frac{r _{1} v _{1}}{r _{2}} = \frac{0.40 \times 2.0}{0.20} = 4.0 m/s$

半径が半分になると速さは2倍になる。

③ 張力。 円運動をしているあいだ、糸の張力が向心力である。

$T_{1} = \frac{m v _{1} ^{2}}{r _{1}} = \frac{0.50 \times 2. 0 ^{2}}{0.40} = 5.0 N$

$T_{2} = \frac{m v _{2} ^{2}}{r _{2}} = \frac{0.50 \times 4. 0 ^{2}}{0.20} = 40 N$

$8$ 倍になった。 $r v$ が一定であることを使って $v = r_{1} v_{1} / r$ を代入すると

$T = \frac{m v ^{2}}{r} = \frac{m ( r _{1} v _{1} ) ^{2}}{r ^{3}}$

張力は半径の3乗に反比例する。 半径を半分にすれば $2^{3} = 8$ 倍、というのがこの式の意味である。

④ 手がした仕事。 面がなめらかなので、小球の運動エネルギーを変えたのは手の仕事だけである。

$W = \frac{1}{2} m v_{2}^{2} - \frac{1}{2} m v_{1}^{2} = \frac{1}{2} \times 0.50 \times (16 - 4) = 3.0 J$

まとめ 中心を向く力は回す働きをもたないので $r v$ が保たれ、半径を縮めると速さが上がる。一方で張力は $1/ r^{3}$ で急激に大きくなり、それを引くぶんだけ手が仕事をする。速さの答えは面積速度から、エネルギーの答えは仕事から。役割を分けるのがこの問題の骨である。

発展 — 一歩先へ。 力が中心を向いているのに仕事をするのは、変位に「中心へ近づく成分」があるからである。半径が変わらない等速円運動では力と変位が直角で仕事が0、という事実と矛盾しない。

フィギュアスケートのスピンで腕を縮めると回転が速くなるのも同じ原理である。選手は腕を引き寄せる仕事をしており、そのぶんだけ回転のエネルギーが増えている。回転が速くなるぶんのエネルギーは、どこからか湧いてくるのではなく、筋肉から供給されている。

答

(1) $r v$ (言いかえれば面積速度)が一定 (2) $4.0 m/s$ (3) $5.0 N$ と $40 N$ (4) $3.0 J$

別解

張力の仕事を直接足し上げるルート。 ④の答えは、力と距離から直接求めることもできる。③で得た

$T = \frac{m ( r _{1} v _{1} ) ^{2}}{r ^{3}}$

を、半径が $r_{1}$ から $r_{2}$ まで縮むあいだで足し合わせればよい。

張力は半径の3乗に反比例する。0.20 m から 0.40 m のあいだの、曲線の下の面積が手のした仕事 3.0 J にあたる

$1/ r^{3}$ を足し上げると $\frac{1}{2 r ^{2}}$ の差になるから

$W = m (r_{1} v_{1})^{2} (\frac{1}{2 r _{2} ^{2}} - \frac{1}{2 r _{1} ^{2}})$

$m (r_{1} v_{1})^{2} = 0.50 \times (0.40 \times 2.0)^{2} = 0.32$ を代入して

$W = 0.32 \times (\frac{1}{2 \times 0.2 0 ^{2}} - \frac{1}{2 \times 0.4 0 ^{2}}) = 0.32 \times (12.5 - 3.125) = 3.0 J$

エネルギーの差から求めた値と一致した。

力の変化を1歩ずつ追う道と、始めと終わりだけを見る道の、どちらからも同じ答えが出る。グラフでいえば、曲線の下の面積を数えるか、両端の値の差を取るかの違いである。数値が合ったことで、③で導いた $T \propto 1/ r^{3}$ の形も裏づけられた。

ポイント

中心を向く力しかないとき面積速度が一定。ここでは $r v$ が一定に保たれる
速さは $v \propto 1/ r$ 、張力は $T \propto 1/ r^{3}$
速さは面積速度から、仕事はエネルギーの差から。順序を逆にすると解けない

よくある間違い

エネルギー保存を使って $v_{2} = v_{1}$ としてしまう。手が仕事をしているので運動エネルギーは保存しない
張力が半径に反比例すると思ってしまう。速さも同時に変わるので $1/ r^{3}$ になる
「中心を向く力は仕事をしない」を半径が変わる場合にも当てはめてしまう。仕事が0なのは半径が一定のときだけである