高度のある円軌道の衛星

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 高度のある軌道でも、原理は b12 と同じ「万有引力=向心力」。ただし引力は距離とともに弱まる($1/r^2$)ので、遠い軌道ほど遅い速さでつり合う。

① 運動方程式。

$$G\frac{Mm}{r^2}=\frac{m{v}^2}{r}⟹v=\sqrt{\frac{GM}{r}}$$

② GM=gR² と r=2R を代入。

$$v=\sqrt{\frac{g{R}^2}{2R}}=\sqrt{\frac{gR}{2}}=\sqrt{\frac{9.8\times 6.4\times 10^6}{2}}=\sqrt{3.14\times 10^7}=5.6\times 10^{3}m/s$$

まとめ 第 1 宇宙速度 $\sqrt{gR}=7.9km/s$ の $\frac{1}{\sqrt{2}}$ 倍である。$v\propto \frac{1}{\sqrt{r}}$——高い軌道ほどゆっくり回る(そのくせ周期はさらに長い)。この関係が、次のケプラーの法則(s10・s12)の力学的な根っこになっている。

別解

その高さでの重力加速度から考えるルート。 $r=2R$ での重力加速度は $g^{\prime }=\frac{GM}{(2R{)}^2}=\frac{g}{4}=2.45m/{\mathrm{s}}^2$。

この $g^{\prime }$ が向心加速度だから $\frac{v^2}{2R}=\frac{g}{4}$、つまり $v=\sqrt{\frac{gR}{2}}$——同じ答えになる。「距離 2 倍で重力 1/4」を経由する読み方は、逆 2 乗則の感覚を確かめるのにも良い。