低軌道衛星の周期

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 速さがわかっている円運動の周期は $T=\frac{2\pi r}{v}$ で出る。地表すれすれ軌道の速さは第 1 宇宙速度 $\sqrt{gR}$(b12)だから、代入して整理するだけである。

① 周期の式。

$$T=\frac{2\pi R}{v}=\frac{2\pi R}{\sqrt{gR}}=2\pi \sqrt{\frac{R}{g}}$$

② 数値を入れる。

$$T=2\times 3.14\times \sqrt{\frac{6.4\times 10^6}{9.8}}=6.28\times \sqrt{6.53\times 10^5}=6.28\times 808=5.1\times 10^3秒$$

約 85 分。

まとめ 国際宇宙ステーション(高度約 400 km)の実際の周期は約 92 分——地表すれすれの理論値 85 分に高度の分だけ上乗せされた値である。$T=2\pi \sqrt{R/g}$ という形は、次の単元の単振動の周期($2\pi \sqrt{m/k}$ など)と同じ「$2\pi \sqrt{}$」の家族で、振動と円運動の親戚関係を予告している。

別解

角速度から出すルート。 運動方程式 $mg=mR{\omega }^2$ より $\omega =\sqrt{\frac{g}{R}}=\sqrt{\frac{9.8}{6.4\times 10^6}}=1.24\times 10^{-3}rad/s$。

$$T=\frac{2\pi }{\omega }=\frac{6.28}{1.24\times 10^{-3}}=5.1\times 10^3秒$$

速さを経由するか角速度を経由するか。$v=r\omega$ で結ばれた 2 つの道はいつでも同じ答えに合流する。