糸・棒・管で一周できる条件はどう違うか

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 3つの違いは「支えが何を出せるか」の一点に尽きる。

糸は引くことしかできない。だから張力は0以上でなければならず、最高点でも $mg$ をこえる向心力を必要とするだけの速さが要る。棒は引くことも押すこともできる。管は内壁と外壁の両方があるので、やはり内向きにも外向きにも力を出せる。

つまり (A) だけに「張力が0以上」という条件が余分につき、(B)(C) は最高点まで届けばよい。この差がそのまま答えの差になる。

① 最小の速さ。 エネルギー保存はどの場合も共通である。最下点の速さを $v_0$、最高点の速さを $v$ とすると、高さの差が $2L$ だから

$$\frac{1}{2}m{v}_0{}^2=\frac{1}{2}m{v}^2+mg(2L)⟹v_0{}^2=v^2+4gL$$

(A) 糸のとき。 最高点で張力を $S$ とすると、下向き(中心向き)を正として

$$S+mg=\frac{m{v}^2}{L}$$

$S\ge 0$ が要るので $v^2\ge gL$。したがって

$$v_0{}^2\ge gL+4gL=5gL=5\times 9.8\times 1.0=49⟹v_0\ge 7.0m/s$$

(B)(C) 棒や管のとき。 支えが押す力も出せるので、最高点での条件は $v>0$ だけでよい。

$$v_0{}^2>4gL=39.2⟹v_0>2\sqrt{gL}\fallingdotseq 6.3m/s$$

必要な速さの比は $\sqrt{5}:2$ で、糸のほうが厳しい。

② 糸がたるむ位置。 最下点の速さが $\sqrt{3gL}$ では $\sqrt{5gL}$ に届かないので、途中で張力が0になる。円の中心から見て鉛直上向きから角 $\theta$ の位置を考える。最下点からの高さは $L(1+\cos \theta )$ だから

$$v^2=3gL-2gL(1+\cos \theta )=gL(1-2\cos \theta )$$

張力が0になるのは、重力の中心向き成分だけで向心力がまかなわれるときである。

$$mg\cos \theta =\frac{m{v}^2}{L}⟹gL\cos \theta =gL(1-2\cos \theta )$$

$$3\cos \theta =1⟹\cos \theta =\frac{1}{3}$$

高さは

$$L(1+\cos \theta )=\frac{4L}{3}\fallingdotseq 1.3\mathrm{m}$$

そのときの速さは

$$v=\sqrt{gL\times \frac{1}{3}}=\sqrt{\frac{9.8}{3}}\fallingdotseq 1.8m/s$$

ここから先、小球は糸から離れて放物運動に移る。

③ 管で最下点の速さが $7.0m/s$ のとき。 最高点の速さは

$$v^2=v_0{}^2-4gL=49-39.2=9.8=gL$$

必要な向心力は

$$\frac{m{v}^2}{L}=\frac{0.20\times 9.8}{1.0}=1.96\mathrm{N}$$

これは重力 $mg=0.20\times 9.8=1.96\mathrm{N}$ とちょうど等しい。重力だけでぴったり足りるので、管が及ぼす力は 0 である。この速さは、①で求めた糸の最小条件そのものになっている。

④ 管で最下点の速さが $6.5m/s$ のとき。

$$v^2=6.5^2-39.2=42.25-39.2=3.05$$

必要な向心力は $\frac{m{v}^2}{L}=0.20\times 3.05=0.61\mathrm{N}$ で、重力 $1.96\mathrm{N}$ より小さい。重力が 効きすぎている から、余りを打ち消す外向きの力が要る。

管が及ぼす力を $N$(中心向きを正)として

$$N+mg=\frac{m{v}^2}{L}⟹N=0.61-1.96=-1.35\mathrm{N}$$

負なので向きは外向き、大きさは $1.35\mathrm{N}$。最高点では球が内側の壁の上に乗っている形になり、内側の壁が球を外向き(この位置では上向き)に押している。糸ではこの力を出せないので、同じ速さでは糸はたるんでしまう。

まとめ 支えが「引けるだけ」か「押しも引きもできる」かで、一周の条件が変わる。糸は最高点で $v^2\ge gL$、棒や管は届きさえすればよい。管の中では、速さに応じて内側の壁と外側の壁が役割を交代する。

発展 — 一歩先へ。 (C) で最下点の速さを $6.3m/s$ から $7.0m/s$ へ上げていくと、最高点で球を支える壁が内側から外側へ入れかわる。ちょうど $7.0m/s$ のときだけ、どちらの壁にも触れずに重力だけで曲がる。

ジェットコースターのループでは、車輪がレールを内側と外側からはさむ構造になっていて、まさにこの (C) と同じ状況をつくっている。頂上で速度が落ちても車両が落下しないのは、そのためである。

別解

必要な向心力と重力の綱引きとして見るルート。 式を立てる前に、最高点だけを取り出して2つの量を比べる方法がある。最高点で必要な向心力は $m{v}^2/L$、そこで無料でもらえるのは重力 $mg$。この大小だけで、支えが何をすべきかが決まる。

• $m{v}^2/L>mg$ … 重力では足りない。不足分を 内向き に補う必要がある。糸なら張力、管なら外側の壁が担う
• $m{v}^2/L=mg$ … ちょうど。支えは何もしなくてよい
• $m{v}^2/L<mg$ … 重力が多すぎる。余りを 外向き に打ち消す必要がある。糸には無理で、棒や管ならできる

糸が引くことしかできない以上、3番目の状況を許せない。これが (A) だけ条件の厳しい理由である。

この見方だと ③ は2番目、④ は3番目とすぐに分類でき、計算は最後の引き算だけで済む。①の $v^2\ge gL$ という条件も、「1番目か2番目でなければならない」と言い換えただけだと分かる。場合分けの根拠が1本の大小比較に集約されるので、式の意味を見失いにくい。