物理 / 円運動と万有引力

脱出速度(第 2 宇宙速度)

★★★ 応用万有引力エネルギー保存

問題

地表から物体を打ち出し、無限遠まで到達させる(地球の重力を振り切る)ために必要な最小の初速(第 2 宇宙速度)を求めよ。万有引力による位置エネルギーは、無限遠を基準として $U = - G \frac{M m}{r}$ で与えられる。 $GM = g R^{2}$ 、 $g = 9.8 m/ s^{2}$ 、 $R = 6.4 \times 1 0^{6} m$ 、 $2 = 1.41$ とする。

重力による位置エネルギー U=−GMm/r(無限遠が基準)

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「振り切る」をエネルギーの言葉にすると、無限遠(U=0)にちょうど届く=そこで運動エネルギーも 0、つまり力学的エネルギーの合計が 0 以上ということ。地表での合計を書いて 0 と置こう。

解答・解説

方針

エネルギー保存。無限遠に「ちょうど届く」=無限遠で運動エネルギー 0、位置エネルギー 0。½mv²−GMm/R=0 から v=√(2GM/R)=√(2gR)。

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 重力を振り切れるかどうかは、力学的エネルギーの符号で決まる。無限遠を基準( $U = 0$ )にとると、合計が 0 以上なら無限遠に到達できる。最小の初速は「ちょうど 0」のときである。

公式万有引力の位置エネルギー

U = - G \frac{M m}{r}

(無限遠基準。常に負)

① エネルギーの条件。 地表での合計=無限遠での合計(ともに 0)より

$\frac{1}{2} m v^{2} - G \frac{M m}{R} = 0$

② 解く。 $GM = g R^{2}$ を使って

$v = \frac{2 GM}{R} = 2 g R = 2 \times 9.8 \times 6.4 \times 1 0^{6} = 1.12 \times 1 0^{4} \approx 1.1 \times 1 0^{4} m/s$

約 11.2 km/s。

まとめ 第 1 宇宙速度 $g R = 7.9 km/s$ のちょうど $2$ 倍。「回り続ける」と「振り切る」の違いが $2$ 倍に凝縮されている。位置エネルギーが負なのは「重力の井戸の底にいる」ことの表現で、脱出とは井戸の縁( $U = 0$ )まで登り切ることである。

答

$v = 2 g R \approx 1.1 \times 1 0^{4} m/s$ (約 $11.2 km/s$ )。第 1 宇宙速度の $2$ 倍

別解

井戸の深さで見るルート。 地表での位置エネルギー $- \frac{GM m}{R} = - m g R$ は、「深さ $g R$ (質量あたり)の井戸」にいることを意味する。脱出に必要な運動エネルギーはこの井戸を埋める分:

$\frac{1}{2} v^{2} = g R ⟹ v = 2 g R$

$m g h$ 型の感覚でいえば「高さ $R$ 分の重力の坂(ただし重力は遠くで弱まるので合計は $m g R$ で打ち止め)を登る」計算である。無限に続く坂なのに必要エネルギーが有限——逆 2 乗則の収束が効いている。

ポイント

脱出条件: 力学的エネルギー≥0
v=√(2gR)=√2×第 1 宇宙速度
U=−GMm/r は重力の井戸

よくある間違い

U の符号を正にして式が破綻する
√2 を掛け忘れて 7.9 km/s とする
無限遠で運動エネルギーを残してしまう(最小なら 0)