静止衛星の軌道半径(力学からの計算)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 s12 では月をものさしに比で求めたが、今度は力学から直接計算する。運動方程式に $\omega =\frac{2\pi }{T}$ を入れると、$r^3$ がひとかたまりで出てくる。

① 運動方程式。

$$G\frac{Mm}{r^2}=mr{\left(\frac{2\pi }{T}\right)}^2⟹r^3=\frac{GM{T}^2}{4{\pi }^2}=\frac{g{R}^2{T}^2}{4{\pi }^2}$$

② 数値を入れる。

$$r^3=\frac{9.8\times (6.4\times 10^6{)}^2\times (8.64\times 10^4{)}^2}{4\times 9.87}$$

分子: $9.8\times 4.10\times 10^{13}\times 7.47\times 10^9=3.00\times 10^{24}$。分母: $39.5$。

$$r^3=7.58\times 10^{22}=75.8\times 10^{21}⟹r=4.23\times 10^7\approx 4.2\times 10^7\mathrm{m}$$

まとめ s12 の比の計算($4.2\times 10^4\mathrm{km}$)と一致した——ケプラーの法則ルートと力学ルートが同じ答えで合流する。$r^3=\frac{GM{T}^2}{4{\pi }^2}$ は第 3 法則そのもので、「法則の再導出」と「実用計算」を一度にやったことになる。地球半径の約 6.6 倍、そこに気象衛星が並んでいる。

別解

3 乗根の処理を工夫するルート。 $r^3=7.58\times 10^{22}$ の 3 乗根は、指数を 3 の倍数に整えると楽になる: $75.8\times 10^{21}$ と書けば

$$r=\sqrt[3]{75.8}\times 10^7=4.23\times 10^7\mathrm{m}$$

「10 のべきを 3 の倍数へ寄せてから 3 乗根」は、この型の計算の定石。$\sqrt[3]{75.8}\approx 4.2$ は $4.2^3=74$ で妥当性も確認できる。