月面の重力加速度

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $g=\frac{GM}{R^2}$ は地球専用ではなく、どの天体の表面重力も与える万能の式である(b10)。月の値を入れて、有名な「月の重力は 1/6」を自分の手で再現する。

① 代入する。

$$g_{月}=\frac{6.7\times 10^{-11}\times 7.3\times 10^{22}}{(1.7\times 10^6{)}^2}=\frac{48.9\times 10^{11}}{2.89\times 10^{12}}=\frac{4.89\times 10^{12}}{2.89\times 10^{12}}=1.69\approx 1.7m/{\mathrm{s}}^2$$

② 地球との比。

$$\frac{9.8}{1.69}=5.8\approx 6⟹約\frac{1}{6}$$

まとめ アポロ計画の映像で宇宙飛行士がふわりと跳ぶのは、この $1.7m/{\mathrm{s}}^2$ の世界だからである。質量は地球の $\frac{1}{81}$ しかないのに重力が $\frac{1}{6}$ で済むのは、半径も $\frac{1}{3.8}$ と小さい($R^2$ で $\frac{1}{14}$)ため。質量と半径の 2 つの縮み方の商が表面重力を決める。

別解

比で計算するルート(数値を減らす)。 地球に対する比だけで計算する:

$$\frac{g_{月}}{g_{地}}=\frac{M_{月}}{M_{地}}\times {\left(\frac{R_{地}}{R_{月}}\right)}^2=\frac{1}{82}\times (3.76{)}^2=\frac{14.2}{82}=0.17$$

$g_{月}=9.8\times 0.17=1.7m/{\mathrm{s}}^2$。絶対値の指数計算を避けて比で押す流儀は、桁ミスのリスクを減らしてくれる。