引力による最接近距離(衝突径数)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 引力で曲げられた軌道の「一番近づく点」を求める問題。無限遠と最接近点という 2つの特別な瞬間 を、2つの保存則で結ぶ。

最接近点では、これ以上近づけない=動径方向の速度が 0 の瞬間なので、速度は動径に 垂直。すると角運動量が「速さ×距離」と簡単に書ける。無限遠でも、垂線の足までの距離が $b$ だから同じく「$v_{\infty }b$」。

角運動量保存で $v_{\min }$ を $r_{\min }$ で表し、エネルギー保存に代入して $r_{\min }$ の2次方程式にすればよい。

① 角運動量保存。 無限遠での角運動量は、速度に下ろした垂線の足までの距離(=衝突径数)$b$ を使って $m{v}_{\infty }b$。最接近点では速度が動径に垂直なので $m{v}_{\min }{r}_{\min }$。等しいから

$$v_{\infty }b=v_{\min }{r}_{\min }⟹v_{\min }=\frac{v_{\infty }b}{r_{\min }}$$

② エネルギー保存。 無限遠では $U=0$ なので

$$\frac{1}{2}m{v}_{\infty }^2=\frac{1}{2}m{v}_{\min }^2-\frac{GMm}{r_{\min }}$$

$v_{\min }=\frac{v_{\infty }b}{r_{\min }}$ を代入し、両辺を $m$ で割って $r_{\min }^2$ を掛ける。

$$\frac{1}{2}{v}_{\infty }^2{r}_{\min }^2=\frac{1}{2}{v}_{\infty }^2{b}^2-GM{r}_{\min }$$

$r_{\min }$ について整理すると2次方程式

$$\frac{1}{2}{v}_{\infty }^2{r}_{\min }^2+GM{r}_{\min }-\frac{1}{2}{v}_{\infty }^2{b}^2=0$$

正の解をとって

$$r_{\min }=\frac{-GM+\sqrt{(GM{)}^2+v_{\infty }^4{b}^2}}{v_{\infty }^2}$$

③ 特別な場合。 $v_{\infty }^2=\frac{GM}{b}$ を代入する。$v_{\infty }^4=\frac{(GM{)}^2}{b^2}$ なので、根号の中は

$$(GM{)}^2+\frac{(GM{)}^2}{b^2}\cdot b^2=2(GM{)}^2$$

したがって

$$r_{\min }=\frac{-GM+\sqrt{2}GM}{GM/b}=(\sqrt{2}-1)b\approx 0.41b$$

引力のおかげで、直進なら $b$ しか近づけないところを、$0.41b$ まで引き寄せられる。

まとめ 「最接近点で速度は動径に垂直」を見抜けば、角運動量保存とエネルギー保存の2式で $r_{\min }$ が出る。衝突径数 $b$ は無限遠での角運動量を長さで表したもの——ラザフォードの散乱や探査機の軌道設計と同じ骨格の問題である。

別解

実効ポテンシャルで見るルート(高い視点)。 動径方向の運動だけを取り出すと、角運動量 $L=m{v}_{\infty }b$ が一定なので、遠心力の効果が位置エネルギーに加わった「実効ポテンシャル」

$$U_{\mathrm{eff}}(r)=\frac{L^2}{2m{r}^2}-\frac{GMm}{r}$$

の中を、全エネルギー $E=\frac{1}{2}m{v}_{\infty }^2$ で動く1次元運動とみなせる。最接近点は動径速度が 0、すなわち $E=U_{\mathrm{eff}}(r_{\min })$ の点。この式を整理すると本解と同じ2次方程式に帰着する。散乱を「1次元のポテンシャル問題」に落とす見方で、大学の力学へまっすぐつながる。