正三角形を保って回る3つの星

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 円運動の問題はいつも同じ2本立てである。何が向心力になるか と どんな円を描くか。3つの星でもこれは変わらない。

違うのは、向心力が1本の力ではなく2本の合力になる点だけである。2つの引力は大きさが等しく、なす角は正三角形の内角 $60^{\circ }$。大きさの等しい2力の合成は、なす角の二等分線を向く。

そして対称性から、回転の中心は正三角形の重心である。重心までの距離は辺の長さから幾何で出る。この2つが決まれば、あとは運動方程式1本で終わる。

① 合力。 1つの星に注目する。他の2つはどちらも距離 $a$ にあるので、受ける力の大きさはどちらも

$$F_1=\frac{G{m}^2}{a^2}$$

2力のなす角は $60^{\circ }$ である。

したがって

$$F=2F_1\cos 30^{\circ }=\sqrt{3}\frac{G{m}^2}{a^2}$$

$60^{\circ }$ の二等分線は、頂点から向かい合う辺の中点へ向かう線、つまり 重心を通る。合力は重心を向いており、向心力として申し分ない。

② 円の半径。 回転の中心は、対称性から正三角形の重心である。頂点から重心までの距離は、正三角形の外接円の半径にあたる。一辺 $a$ の正三角形では

$$r=\frac{a}{\sqrt{3}}$$

(頂点から向かい合う辺の中点までの長さ $\frac{\sqrt{3}}{2}a$ の $\frac{2}{3}$ 倍として出る。)

③ 運動方程式。

$$\sqrt{3}\frac{G{m}^2}{a^2}=m{\omega }^{2}r=m{\omega }^2\times \frac{a}{\sqrt{3}}$$

両辺の $m$ を1つ払い、$\sqrt{3}$ を移すと

$${\omega }^2=\frac{3Gm}{a^3}$$

$$T=\frac{2\pi }{\omega }=2\pi \sqrt{\frac{a^3}{3Gm}}$$

$T^2$ が $a^3$ に比例する形になっている。ケプラーの第3法則と同じ姿である。

④ 数値。

$$3Gm=3\times 6.7\times 10^{-11}\times 2.0\times 10^{30}=4.02\times 10^{20}$$

$$a^3=(3.0\times 10^{11}{)}^3=2.7\times 10^{34}$$

$$\omega =\sqrt{\frac{4.02\times 10^{20}}{2.7\times 10^{34}}}=\sqrt{1.49\times 10^{-14}}=1.22\times 10^{-7}rad/s$$

$$T=\frac{2\pi }{1.22\times 10^{-7}}=5.1\times 10^7\mathrm{s}$$

1年で割ると約 $1.6$ 年。太陽くらいの重さの星3つが、地球と太陽の距離の2倍を一辺として、1年半ほどで一周する計算になる。

まとめ 3体でも手順は変わらない。合力を作る、半径を出す、運動方程式を立てる。等しい2力の合成 $2F_1\cos (\theta /2)$ と、正三角形の重心までの距離 $a/\sqrt{3}$ の2つが、この問題の道具である。

発展 — 一歩先へ。 ③の結果を ${\omega }^2=\frac{G{M}_{\mathrm{eff}}}{r^3}$ の形に書き直すと、$M_{\mathrm{eff}}=\frac{m}{\sqrt{3}}\fallingdotseq 0.58m$ となる。「重心に質量 $0.58m$ の見えない天体があって、そのまわりを回っている」のと同じ運動だということである。多体の問題を1体の問題に読み替えるこの考えは、天体力学でよく使われる。

なお、この正三角形の配置は3体問題の厳密解の1つ(ラグランジュの解)である。3つの質量が等しくなくても正三角形を保つ解が存在し、太陽と木星の系ではその位置に多数の小惑星(トロヤ群)が実際に集まっている。

別解

座標を置いて成分で押すルート。 幾何の見通しに頼らず、成分計算でも同じ答えが出る。重心を原点にとり、3つの星を

$$\left(\frac{a}{\sqrt{3}},0\right),\left(-\frac{a}{2\sqrt{3}},\frac{a}{2}\right),\left(-\frac{a}{2\sqrt{3}},-\frac{a}{2}\right)$$

に置く。どれも原点から $\frac{a}{\sqrt{3}}$ の距離にあり、互いの距離が $a$ であることを確かめておく。

第1の星が他の2つから受ける力を成分で足す。相手の2つは $y$ について上下対称なので、$y$ 成分は打ち消し合って0になる。$x$ 成分だけを見ると、距離はどちらも $a$、$x$ 方向の余弦は

$$\frac{-\frac{a}{2\sqrt{3}}-\frac{a}{\sqrt{3}}}{a}=-\frac{\sqrt{3}}{2}$$

だから

$$F_x=2\times \frac{G{m}^2}{a^2}\times \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=-\sqrt{3}\frac{G{m}^2}{a^2}$$

負号は原点(重心)を向くことを表す。①と完全に一致した。

対称性が見えていれば①のほうが速い。しかし配置が対称でない問題では、この成分計算だけがいつでも通用する道になる。どちらの道も持っておくとよい。