回転する水の表面はどんな形か

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 水面の形が分からないので、水面の上に小さな水のかたまりを1つ置いて、それにはたらく力を調べる。水と一緒に回る立場に立てば、その小片は静止しており、力はつり合っている。

決定的なのは「まわりの水から受ける力は水面に垂直」という点である。液体は面に沿う向きの力(ずれの力)を出せないからだ。垂直な力が重力と遠心力の合力とつり合うのだから、水面の傾きは合力の向きだけで決まる。

傾きが場所ごとに分かれば、あとはそれを高さの変化率と読んで積み上げればよい。

① 水面の傾き。 容器と一緒に回る立場で考える。水面上、軸から距離 $x$ にある質量 $m$ の小片には、重力 $mg$(下向き)、遠心力 $m{\omega }^{2}x$(外向き)、水面に垂直な力 $N$ の3つがはたらいてつり合う。

$N$ が水面に垂直で、しかも残り2力の合力とつり合うのだから、重力と遠心力の合力も水面に垂直である。合力が鉛直となす角と、水面が水平となす角は等しいので

$$\tan \alpha =\frac{m{\omega }^{2}x}{mg}=\frac{{\omega }^{2}x}{g}$$

② 水面の形。 $\tan \alpha$ は水面の傾きそのものだから、水面の高さを $y$ として

$$\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{{\omega }^{2}x}{g}$$

右辺は $x$ に比例している。傾きが $x$ に比例する曲線は2次関数である。中心($x=0$)の水位を高さの基準にとると

$$y=\frac{{\omega }^2}{2g}{x}^2$$

実際この式の傾きは $\frac{{\omega }^2}{g}x$ で①と一致する。断面は放物線、それを軸のまわりに回した水面は 放物面 になる。

③ 高低差。 壁ぎわは $x=R$ だから

$$\Delta =\frac{{\omega }^2{R}^2}{2g}=\frac{14^2\times 0.20^2}{2\times 9.8}=\frac{7.84}{19.6}=0.40\mathrm{m}$$

④ あふれる条件。 ここで水の量が変わらないことを使う。与えられた事実より、くぼんだぶん(放物面より上の体積)は高さ $\Delta$ の円柱のちょうど半分である。したがって、回す前の水面を基準にして

$$\text{中心は }\frac{\Delta }{2}\text{ 下がり、壁ぎわは }\frac{\Delta }{2}\text{ 上がる}$$

$\omega =14$ では $\Delta /2=0.20\mathrm{m}$ だから、中心の水位は $0.30-0.20=0.10\mathrm{m}$、壁ぎわの水位は $0.30+0.20=0.50\mathrm{m}$ になる。

壁ぎわがちょうど容器の高さ $0.50\mathrm{m}$ に達した。つまり $\omega =14rad/s$ で、あふれ始める。

⑤ 底が現れる条件。 中心が底(高さ0)に届くのは ${\Delta }^{\prime }/2=0.30$、すなわち ${\Delta }^{\prime }=0.60\mathrm{m}$ のときである。

$${\omega }^{\prime 2}=\frac{2g{\Delta }^{\prime }}{R^2}=\frac{2\times 9.8\times 0.60}{0.20^2}=294$$

$${\omega }^{\prime }=\sqrt{294}=7\sqrt{6}\fallingdotseq 17rad/s$$

ただし④より先にあふれてしまうので、水を足さないかぎりこの状態には届かない。

まとめ 「液面は見かけの重力に垂直」を1つ認めれば傾きの式が出て、積み上げると放物面になる。あとは体積が変わらないことから「半分下がり、半分上がる」を使えば、あふれる条件も底が出る条件も同じ物差しで測れる。

発展 — 一歩先へ。 放物面は平行に入った光を1点に集める。回転する液体金属(水銀)の表面をそのまま望遠鏡の主鏡に使う「液体鏡望遠鏡」は、この性質を利用したものである。ガラスを磨かずに理想的な放物面が得られるかわりに、真上しか向けられない。

焦点距離は $y=x^2/(4f)$ と②を見比べて $f=\frac{g}{2{\omega }^2}$ となる。ゆっくり回すほど焦点距離が長い。実際の液体鏡は数秒で1回転するくらいの速さで回している。

別解

圧力から一気に出すルート。 回転する水の中の圧力は、軸から距離 $x$、高さ $y$ の点で

$$P=P_0+\frac{\rho {\omega }^2{x}^2}{2}-\rho gy$$

と書ける。第2項が遠心力によって外側ほど押される効果、第3項が深いほど押される効果である。

水面は大気に接しているので、水面上ではどこでも圧力が $P_0$ に等しい。そこで $P=P_0$ とおくと

$$\frac{\rho {\omega }^2{x}^2}{2}=\rho gy⟹y=\frac{{\omega }^2{x}^2}{2g}$$

密度 $\rho$ が約分で消え、①②と同じ式が1行で出た。密度が消えることから、水面の形は液体の種類によらない ことも同時に分かる。水でも水銀でも、同じ角速度なら同じ放物面になる。

力の分解を追うルートが「なぜ傾くか」を見せるのに対し、こちらは「等圧面がどこか」を一気に答える。液面の形は等圧面である、という見方は流体を扱うときの基本になる。