物理 / 円運動と万有引力

円運動の記述量の総合

★★ 標準等速円運動

問題

半径 $2.0 m$ の円周上を周期 $4.0$ 秒で等速円運動する物体について、(1) 角速度 (2) 速さ (3) 向心加速度の大きさをそれぞれ求めよ。円周率を $π = 3.14$ 、 $π^{2} = 9.87$ とする。

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周期から始めて、ω、v、a を数珠つなぎに出していく基本の流れ。π を早々に 3.14 にせず、π のまま計算して最後に数値化すると、きれいな形が見えて検算もしやすい。

解答・解説

方針

T→ω→v→a と順に変換する。ω=2π/T、v=rω、a=rω²。文字のまま π で持っておき、最後に数値化する。

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 円運動の記述量は $T \to ω \to v \to a$ の一本道で全部つながる。 $π$ を文字のまま運び、最後に数値化するのが精度と速さの両立のコツである。

① 角速度。

$ω = \frac{2 π}{T} = \frac{2 π}{4.0} = \frac{π}{2} = 1.57 \approx 1.6 rad/s$

② 速さ。

$v = r ω = 2.0 \times \frac{π}{2} = π = 3.14 \approx 3.1 m/s$

③ 向心加速度。

$a = r ω^{2} = 2.0 \times \frac{π ^{2}}{4} = \frac{π ^{2}}{2} = \frac{9.87}{2} = 4.9 m/ s^{2}$

T=4.0 s、r=2.0 m の等速円運動。ω・v・a を順に求める

まとめ 出てきた $a = 4.9 m/ s^{2}$ はちょうど $\frac{g}{2}$ 。この物体を回すには重力の半分の力(質量あたり)が要る、という体感的な換算もできる。 $T \to ω \to v \to a$ の流れ作業は円運動の基礎体力なので、この 3 連問で手に馴染ませておく。

答

(1) $ω = \frac{π}{2} \approx 1.6 rad/s$ (2) $v = π \approx 3.1 m/s$ (3) $a \approx 4.9 m/ s^{2}$

別解

a=v²/r で検算するルート。 ②の $v = π$ を使って

$a = \frac{v ^{2}}{r} = \frac{π ^{2}}{2.0} = \frac{9.87}{2.0} = 4.9 m/ s^{2}$

$r ω^{2}$ 経由と一致。2 つの公式で同じ量を出せる問題では、片方を本計算・もう片方を検算に回すのが事故防止の定石である。

ポイント

T→ω→v→a の一本道
π は最後に数値化
rω² と v²/r の両輪で検算

よくある間違い

ω を回転数 0.25 と混同する
π を早く丸めて a が 4.8〜5.0 にぶれる
a で 2 乗を忘れる