物理 / 円運動と万有引力

与えられた速さで軌道の形を決める

最難関編万有引力エネルギー保存軌道

問題

地球( $GM = g R^{2}$ )の中心から距離 $2 R$ の点で、質量 $m$ の物体に、動径に垂直な向きの速さ $v$ を与える。

(1) この点での脱出速度(無限遠へ去るのに必要な最小の速さ)を $g, R$ で表せ。

(2) $v^{2} = 0.8 g R$ のとき、軌道が楕円・放物線・双曲線のどれになるか、理由とともに答えよ。

(3) (2) の楕円について、長半径 $a$ を求めよ。また、この点が近地点・遠地点のどちらかを判定し、もう一方の距離を求めよ。

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軌道の形は全エネルギーの符号で決まる。負なら閉じた楕円、ちょうど0が放物線(=脱出の境目)、正なら双曲線。まず脱出速度(全エネルギー0の速さ)を出して v と比べる。長半径はエネルギーで決まる。与えた点が近点か遠点かは、その距離での円軌道の速さと v の大小で分かる。

解答・解説

軌道の形は全エネルギーの符号で決まる(負=楕円、0=放物線、正=双曲線)。境界が脱出速度。長半径はエネルギーだけで決まる関係(またはヴィス・ヴィヴァ)から。近点か遠点かは円軌道速度との大小で判断。

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 「軌道がどんな形か」は、全エネルギーの符号 で決まる。負なら閉じた楕円、ちょうど 0 が放物線(去るか戻るかの境目=脱出速度)、正なら開いた双曲線。

だから、まず脱出速度(全エネルギー 0 の速さ)を出して $v$ と比べる。楕円と分かれば、長半径はエネルギーだけで決まるので即座に出る。

近地点か遠地点かは、その距離での 円軌道の速さ と $v$ を比べる。円より速ければ外へ膨らむので、その点は近地点になる。

① 脱出速度。 全エネルギーが 0 になる速さが脱出速度。距離 $2 R$ で

$\frac{1}{2} v_{esc}^{2} - \frac{GM}{2 R} = 0 ⟹ v_{esc} = \frac{GM}{R} = g R$

② 軌道の判定。 $v^{2} = 0.8 g R < g R = v_{esc}^{2}$ なので、全エネルギーは負。よって軌道は楕円である。

③ 長半径と両端。 全エネルギーと長半径の関係

重要楕円軌道の全エネルギー

E = - \frac{GM m}{2 a}

を使う。この点でのエネルギーは

$E = \frac{1}{2} m v^{2} - \frac{GM m}{2 R} = \frac{1}{2} m (0.8 g R) - \frac{g R ^{2} m}{2 R} = 0.4 g R m - 0.5 g R m = - 0.1 g R m$

$- \frac{GM m}{2 a} = - 0.1 g R m ⟹ \frac{g R ^{2}}{2 a} = 0.1 g R ⟹ a = 5 R$

次に、この点( $2 R$ )が近地点か遠地点か。距離 $2 R$ での円軌道の速さは $\frac{GM}{2 R} = 0.5 g R$ 。与えた速さは $0.8 g R$ でこれより速いので、物体は外へ膨らむ。よってこの点は 近地点。

両端の和は $r_{p} + r_{a} = 2 a = 10 R$ だから、遠地点は

$r_{a} = 10 R - 2 R = 8 R$

まとめ 軌道の形はエネルギーの符号(=脱出速度との大小)で判定、大きさ(長半径)はエネルギーの値で決まる。近点・遠点の別は円軌道速度との比較で分かる。速さ1つで軌道全体の形が決まってしまうのが万有引力の面白さである。

答

(1) $g R$ (2) 楕円 (3) $a = 5 R$ 、この点は近地点、遠地点は $8 R$

ヴィス・ヴィヴァで長半径を直接出すルート。 $v^{2} = GM (\frac{2}{r} - \frac{1}{a})$ に $r = 2 R, v^{2} = 0.8 g R, GM = g R^{2}$ を入れる。

$0.8 g R = g R^{2} (\frac{2}{2 R} - \frac{1}{a}) = g R - \frac{g R ^{2}}{a}$

$\frac{g R ^{2}}{a} = 0.2 g R ⟹ a = 5 R$

エネルギーの式と全く同じ結論。ヴィス・ヴィヴァは「エネルギー保存を長半径で書き直した式」なので、どちらで解いても中身は一致する。