回転でつくる人工重力

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 人工重力といっても新しい力ではない。実在するのは、回る床が人を内側へ押す力(垂直抗力)だけである。それが人を円運動させている。

人の立場からは、自分が床に押しつけられているように感じる。地上で床に押されているのと区別がつかない。だから「床が押す力の大きさ = 感じる重さ」と読んでよい。

その大きさは $m{\omega }^{2}r$ で、軸からの距離 $r$ に比例する。ここが地上の重力と決定的に違う点で、頭と足で値が変わることも、ステーションを大きく作る理由も、すべてここから出る。

① 必要な角速度。 床が人を押す力が $mg$ に等しければ、地上と同じ重さを感じる。この力が向心力なので

$$m{\omega }^{2}R=mg⟹\omega =\sqrt{\frac{g}{R}}=\sqrt{\frac{9.8}{245}}=\sqrt{0.040}=0.20rad/s$$

1回転に要する時間は

$$T=\frac{2\pi }{\omega }=\frac{2\pi }{0.20}=10\pi \fallingdotseq 31\mathrm{s}$$

② 床の速さ。

$$v=R\omega =245\times 0.20=49m/s$$

時速に直すと $180km/h$ 近い。ただし中の空気ごと一緒に回っているので、中にいる人に風は感じられない。

③ 頭と足の違い。 頭は軸から $245-1.8=243.2\mathrm{m}$ の位置にある。角速度は体のどこでも同じ $0.20rad/s$ だから

$${\omega }^2\times 243.2=0.040\times 243.2=9.728m/{\mathrm{s}}^2$$

足もとの $9.8$ に対して

$$\frac{9.728}{9.8}=0.993$$

約 $99\%$、$0.7\%$ ほど軽い。ふつうは気づかない差である。

④ 歩くとどうなるか。 床の上を歩くと、外から見た速さが変わる。回転の向きに $1.0m/s$ で歩けば、その人の速さは $49+1.0=50m/s$ になる。

$$\frac{50^2}{245}=\frac{2500}{245}=10.2m/{\mathrm{s}}^2⟹\frac{10.2}{9.8}=1.04\text{倍}$$

逆向きなら $49-1.0=48m/s$ で

$$\frac{48^2}{245}=\frac{2304}{245}=9.40m/{\mathrm{s}}^2⟹\frac{9.40}{9.8}=0.96\text{倍}$$

歩くだけで体重が $4\%$ 変わる。回転の向きに歩けば重く、逆向きなら軽い。

⑤ 小さいステーションだと。 半径 $10\mathrm{m}$ なら、頭は軸から $10-1.8=8.2\mathrm{m}$ である。

$$\frac{8.2}{10}=0.82$$

$82\%$、つまり $18\%$ も軽い。

足もとと頭でこれだけ違うと、立ち上がるだけで血液の移動のしかたが変わり、強い不快感につながる。人工重力のステーションを大きく作らねばならない理由がここにある。

まとめ 人工重力の正体は床が押す力だけ。$m{\omega }^{2}r$ が軸からの距離に比例することから、頭と足の差も、歩く向きで重さが変わることも、大きく作る必要も、すべて同じ1つの式から説明できる。

発展 — 一歩先へ。 ④で見た「回転の向きに動くと重くなる」効果は、回る立場から見ると コリオリの力 と呼ばれる。半径方向に動くとき、つまりはしごを上り下りするときにも横向きの力として現れ、まっすぐ上ったつもりが横へ押される。

投げたボールも曲がる。回転式ステーションの生活が想像より厄介なのは、この力のためである。地球の大気で低気圧が渦を巻くのも、自転による同じコリオリの力の効果である。

別解

回る立場(遠心力)で数えるルート。 ステーションと一緒に回る立場に立つと、人には外向きに遠心力 $m{\omega }^{2}r$ がはたらき、床からの垂直抗力とつり合って静止して見える。感じる重さとは、この遠心力そのものだと読める。

この立場に立つと ③ と ⑤ が一目で分かる。遠心力は $r$ に比例するので、軸に近いほど弱い。地上の重力が高さでほとんど変わらないのとは対照的で、天井へ登るほど軽くなり、軸に達すると完全な無重力になる。半径が小さいほど、身長ぶんの $r$ の変化の割合が大きくなるので、頭と足の差も大きくなる。

④ も、歩いているあいだは見かけの角速度が

$${\omega }^{\prime }=\frac{v\pm u}{R}$$

に変わったと読めば、感じる重さは $m{\omega }^{\prime 2}R=m(v\pm u{)}^2/R$ で一行である。$\omega$ に $u$ をそのまま足すのではなく、速さを足してから $R$ で割る、という手順がここでは大切になる。