自転で重力はどれだけ変わるか

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 体重計にのって測る重さは、地球が引く万有引力そのものではない。地面と一緒に自転している以上、私たちは円運動をしている。その円運動に要る向心力のぶんだけ、地面を押す力が減る。

そこで「万有引力 = 見かけの重力 + 向心力にまわされたぶん」と分けて考える。まず赤道でこの差を見積もる。

緯度がつくと様子が変わる。円の中心が地球の中心ではなく自転軸の上に移るからだ。すると遠心力は地球の中心を向く方向とずれ、おもりの糸がわずかに傾く。この「向きのずれ」が (3) の主役である。

① 自転の角速度。

$$\omega =\frac{2\pi }{T}=\frac{2\times 3.14}{8.64\times 10^4}=7.3\times 10^{-5}rad/s$$

② 赤道での大きさ。 向心加速度は

$$R{\omega }^2=6.4\times 10^6\times (7.3\times 10^{-5}{)}^2=0.034m/{\mathrm{s}}^2$$

赤道では自転の円の中心が地球の中心と一致するので、万有引力と遠心力はちょうど正反対を向く。測られる重力加速度は

$$g_0-R{\omega }^2=9.8-0.034=9.766m/{\mathrm{s}}^2$$

割合にすると

$$\frac{0.034}{9.8}=0.0035=0.35\%$$

体重 $60\mathrm{kg}$ の人で $200\mathrm{g}$ ほど軽くなる計算である。

③ 緯度による傾き。 緯度 $\phi$ の地点は、自転軸から距離 $R\cos \phi$ の円を描く。遠心力は 自転軸から遠ざかる向き で、大きさは $mR{\omega }^2\cos \phi$ である。

これを地球の中心を向く方向(鉛直)と、それに垂直な方向に分けると

$$\text{鉛直成分(上向き)}mR{\omega }^2{\cos }^2\phi ,\text{水平成分(赤道向き)}mR{\omega }^2\cos \phi \sin \phi$$

糸の傾き $\delta$ は、水平成分と鉛直向きの力の比で決まる。$R{\omega }^2$ は $g_0$ よりずっと小さいので分母を $g_0$ で近似し、$\delta$ が小さいことから $\tan \delta \fallingdotseq \delta$ を使うと

$$\delta \fallingdotseq \frac{R{\omega }^2\sin \phi \cos \phi }{g_0}=\frac{R{\omega }^2}{2g_0}\sin 2\phi$$

そのとき

$$\delta \fallingdotseq \frac{0.034}{2\times 9.8}=1.7\times 10^{-3}\mathrm{rad}$$

度に直すと約 $0.10^{\circ }$、角度の単位で約6分である。赤道と極では $\sin 2\phi =0$ となり、糸は傾かない。

④ 実測と比べる。 実測の差は

$$9.832-9.780=0.052m/{\mathrm{s}}^2$$

自転による差は $0.034m/{\mathrm{s}}^2$ だから

$$\frac{0.034}{0.052}=0.65$$

自転で説明できるのは $65\%$ ほどで、足りない。残りは地球が完全な球ではないことによる。地球は自転のために赤道方向へふくらんでおり、赤道半径は極半径より $21\mathrm{km}$ ほど大きい。中心から遠いぶん万有引力が弱くなり、その効果が加わる。

⑤ 浮き上がる自転。 赤道上の物体が地面から離れるのは、地面が押す力が0になるとき、つまり万有引力だけで円運動がまかなわれるときである。

$$m{\omega }^{\prime 2}R=m{g}_0⟹{\omega }^{\prime }=\sqrt{\frac{g_0}{R}}=\sqrt{\frac{9.8}{6.4\times 10^6}}=1.24\times 10^{-3}rad/s$$

今の $\omega$ との比は

$$\frac{1.24\times 10^{-3}}{7.3\times 10^{-5}}\fallingdotseq 17\text{倍}$$

そのときの1日の長さは

$$T^{\prime }=\frac{2\pi }{{\omega }^{\prime }}=5.1\times 10^3\mathrm{s}\fallingdotseq 85\text{分}$$

まとめ 測られる重力は「万有引力から遠心力ぶんを引いたもの」。赤道では真正面から引き算になって $0.35\%$、緯度がつくと向きがずれて糸がわずかに傾く。実測との食い違いは、地球が球でないことを教えてくれる。

発展 — 一歩先へ。 ⑤で出た $85$ 分は、地表すれすれを回る人工衛星の周期とぴたり同じである。当然といえば当然で、どちらも「万有引力だけで半径 $R$ の円運動をする」条件だからだ。自転が17倍になった地球では、赤道の地面そのものが軌道速度に達してしまう。

この $\sqrt{R/g}$ という時間は、地球サイズの天体につきまとう基本の時間尺度である。地球を貫くトンネルに物を落としたときの往復時間も、同じ $2\pi \sqrt{R/g}$ になる。

別解

遠心力を使わず、ベクトルの引き算で見るルート。 静止した立場のままでも同じ結論が出る。緯度 $\phi$ の地点にあるおもりにはたらくのは、万有引力 $m{\mathbf{g}}_0$(地球の中心向き)と糸の張力 $\mathbf{T}$ の2つだけである。この合力が向心力、すなわち自転軸へ向かう $mR{\omega }^2\cos \phi$ になる。

$$\mathbf{T}=m\mathbf{a}-m{\mathbf{g}}_0$$

つまり張力は「向心力から万有引力を引いた残り」である。糸は張力の向きに垂れるので、中心向きの長いベクトルから、自転軸向きの短いベクトルを引いた向きが糸の向きになる。

長いベクトルから短い斜めのベクトルを引くと、向きは「短いベクトルの横向き成分 ÷ 長いベクトルの大きさ」だけ振れる。横向き成分は $mR{\omega }^2\cos \phi \sin \phi$、長いほうは $m{g}_0$ だから、そのまま③の式になる。

この見方だと、赤道($\phi =0$)では引くベクトルが真下向きで横成分が0、極($\phi =90^{\circ }$)では引くベクトル自体が0、だから両端で傾きが消えて中間で最大になる、という③の結論が図だけで読み取れる。