バンクした道路を曲がれる速さの範囲

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 水平な道路なら、曲がるための向心力は摩擦だけが担う。路面を傾けると、面が車を押す力そのものが内向きの成分をもち、摩擦の助けなしでも曲がれるようになる。まずその「ちょうどよい速さ」を押さえるのが出発点である。

そのうえで摩擦を足す。遅すぎれば内側へずり落ちようとするので摩擦は斜面を上る向き、速すぎれば外へ飛び出そうとするので下る向き。向きが逆になるだけで式の形は変わらない。だから2つの答えは符号違いの双子になる。

分解の向きに注意したい。加速度は水平で中心を向いているので、力は水平と鉛直に分けるのが素直である。

① まず摩擦なしの場合。 路面から受ける垂直抗力を $N$ とする。鉛直方向はつり合い、水平方向が円運動の運動方程式になる。

$$N\cos \theta =mg,N\sin \theta =\frac{m{v}_0{}^2}{r}$$

辺々を割ると $N$ と $m$ が同時に消える。

$$\tan \theta =\frac{v_0{}^2}{gr}$$

$\theta =45^{\circ }$ だから $\tan \theta =1$ で

$$v_0=\sqrt{gr}=\sqrt{9.8\times 60}=\sqrt{588}=14\sqrt{3}\fallingdotseq 24m/s$$

② 最小の速さ。 これより遅いと、必要な向心力より $N\sin \theta$ のほうが大きくなり、車は内側(斜面の下)へずり落ちようとする。それを止める摩擦力 $f$ は斜面を上る向きにはたらく。滑り出す直前では $f=\mu N$ である。

斜面を上る向きは、水平成分が外向き、鉛直成分が上向きである。中心向きを正として2本の式を書く。

$$N\cos \theta +f\sin \theta =mg$$

$$N\sin \theta -f\cos \theta =\frac{m{v}_1{}^2}{r}$$

$f=\mu N$ を代入して辺々割ると、$N$ が消えて

$$\frac{v_1{}^2}{gr}=\frac{\sin \theta -\mu \cos \theta }{\cos \theta +\mu \sin \theta }=\frac{\tan \theta -\mu }{1+\mu \tan \theta }$$

数値を入れると

$$\frac{1-0.50}{1+0.50}=\frac{1}{3}⟹v_1=\sqrt{\frac{588}{3}}=\sqrt{196}=14m/s$$

③ 最大の速さ。 今度は速すぎて外へ飛び出そうとするので、摩擦は斜面を下る向きになる。$f$ の符号を逆にすればよい。

$$\frac{v_2{}^2}{gr}=\frac{\tan \theta +\mu }{1-\mu \tan \theta }=\frac{1+0.50}{1-0.50}=3$$

$$v_2=\sqrt{588\times 3}=\sqrt{1764}=42m/s$$

安全に曲がれるのは $14m/s$ から $42m/s$ まで。ちょうど3倍の幅がある。

④ 摩擦角で書き直す。 $\tan \phi =\mu$ とおくと、②③に現れた分数はどちらも正接の加法定理そのものである。

$$\frac{\tan \theta -\tan \phi }{1+\tan \theta \tan \phi }=\tan (\theta -\phi ),\frac{\tan \theta +\tan \phi }{1-\tan \theta \tan \phi }=\tan (\theta +\phi )$$

したがって

$$v_1{}^2=gr\tan (\theta -\phi ),v_2{}^2=gr\tan (\theta +\phi )$$

$\mu =0.50$ なら $\phi \fallingdotseq 27^{\circ }$。$\theta -\phi \fallingdotseq 18^{\circ }$ と $\theta +\phi \fallingdotseq 72^{\circ }$ で、正接はそれぞれ $1/3$ と $3$。②③の値がそのまま出てくる。

まとめ バンク角 $\theta$ に摩擦角 $\phi$ を足し引きした角が、そのまま曲がれる速さの上限と下限を決める。摩擦は「バンク角を $\pm \phi$ だけ動かせる余裕」として効いている、と読める。

発展 — 一歩先へ。 $\theta +\phi$ が $90^{\circ }$ に近づくと $\tan$ が発散し、上限速度がいくらでも大きくなる。競輪場のバンクが $45^{\circ }$ 近くまで傾けてあるのはこのためである。

逆に $\theta <\phi$ なら $\tan (\theta -\phi )<0$ となり、下限が消える。これは「止まっていても滑り落ちない」ことを意味する。一般道のカーブでバンクを摩擦角より緩くしてあるのは、停止した車が横滑りしないようにするためである。

別解

見かけの重力と摩擦円錐で見るルート。 車と一緒に回る立場に立つと、外向きに遠心力 $m{v}^2/r$ がはたらき、車は静止して見える。重力 $mg$ と合わせた「見かけの重力」は、鉛直から外向きに

$$\tan \alpha =\frac{v^2}{gr}$$

だけ傾いた向きになる。速いほど外へ倒れる。

車が滑らない条件は、この見かけの重力を路面が受け止めきれることである。ところが面が出せる力の向きには限りがある。摩擦が最大でも、面からの力は 面に垂直な向きから摩擦角 $\phi$ 以内 にしか傾けられない(摩擦円錐)。

面の法線は鉛直から $\theta$ 傾いているから、条件は

$$\theta -\phi \le \alpha \le \theta +\phi$$

$\tan$ は $0^{\circ }$ から $90^{\circ }$ で増加するので、そのまま

$$\tan (\theta -\phi )\le \frac{v^2}{gr}\le \tan (\theta +\phi )$$

連立方程式を解かずに、角の大小を比べるだけで上限と下限が出た。④の形が「なぜ足し引きなのか」も、この図なら一目で分かる。