ループコースターの出発点の高さ

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 これは限界条件(s07)とエネルギー保存の融合である。最高点で必要な速さを円運動の条件から決め、その速さを実現する高さをエネルギー保存で逆算する。2 つの道具の受け渡しが解答の骨格になる。

① 最高点の条件。 レールが球を押す垂直抗力が $0$ になる限界で

$$mg=\frac{m{v}^2}{r}⟹v=\sqrt{gr}=\sqrt{9.8\times 5.0}=7.0m/s$$

② エネルギー保存。 出発点(高さ $h$、静止)から最高点(高さ $2r$、速さ $v$)まで

$$mgh=mg(2r)+\frac{1}{2}m{v}^2$$

$v^2=gr$ を代入し、$mg$ で割って

$$h=2r+\frac{r}{2}=\frac{5r}{2}=\frac{5\times 5.0}{2}=12.5\mathrm{m}$$

まとめ 「ループの高さ $2r$ ちょうどでは足りず、半径の半分だけ余分に必要」——不足分はループ最高点で持っていなければならない運動エネルギー $\frac{1}{2}m{v}^2=\frac{mgr}{2}$ の分である。$h=\frac{5r}{2}$ は文字のまま覚える価値のある結果で、実際のジェットコースター設計の出発点になっている。

別解

「あと何 m 分の速さが要るか」で読むルート。 最高点で必要な $v^2=gr$ は、高さに換算すると $\frac{v^2}{2g}=\frac{r}{2}$ 分の落下に相当する。

だから出発点はループの頂上より $\frac{r}{2}$ 高ければよい: $h=2r+\frac{r}{2}$。「速さの必要量を高さに換算する」感覚があると、エネルギー保存の式を立てる前に答えの形が見える。