物理 / 円運動と万有引力

鉛直面内の円運動(一般の角度)

★★★ 応用鉛直面内の円運動エネルギー保存文字式

問題

長さ $L$ の糸の先に質量 $m$ の小球をつけ、最下点で速さ $v_{0} = 2 g L$ を与えて鉛直面内で回す。糸が最下点から角 $θ = 60°$ 回った位置について、(1) 小球の速さの 2 乗 $v^{2}$ (2) 糸の張力 $T$ をそれぞれ求めよ。重力加速度の大きさを $g$ とする。

最下点で初速を与えて鉛直面内で回す。60° 回った位置を考える

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高さの変化は L(1−cosθ) と書ける(図で確認)。速さはエネルギー保存、張力は半径方向の運動方程式——2 つの道具を順に使う。重力の半径方向成分が mgcosθ になる角度の取り方に注意。

解答・解説

方針

エネルギー保存で v²=v₀²−2gL(1−cosθ)。半径方向の運動方程式 T−mgcosθ=mv²/L に代入する。

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 鉛直円運動の一般位置では、速さはエネルギー保存で、張力は半径方向の運動方程式で求める。2 段構えの分業がすべてである。

① 速さ(エネルギー保存)。 最下点から角 $θ$ 回った位置の高さは $L (1 - cos θ)$ 。

$\frac{1}{2} m v^{2} = \frac{1}{2} m v_{0}^{2} - m g L (1 - cos θ)$

$v_{0}^{2} = 4 g L$ 、 $cos 60° = \frac{1}{2}$ を入れて

$v^{2} = 4 g L - 2 g L (1 - \frac{1}{2}) = 4 g L - g L = 3 g L$

② 張力(半径方向の運動方程式)。 この位置で重力の半径方向(中心向きと逆)成分は $m g cos θ$ 。中心向きを正として

$T - m g cos θ = \frac{m v ^{2}}{L}$

$T = m g \times \frac{1}{2} + \frac{m \times 3 g L}{L} = 0.5 m g + 3 m g = 3.5 m g$

まとめ どの角度でも「エネルギーで $v^{2}$ → 運動方程式で $T$ 」の順は変わらない。一般式は $T = \frac{m v _{0}^{2}}{L} + m g (3 cos θ - 2)$ となり、 $θ$ が増えるほど張力が減っていく——最高点( $θ = 180°$ )で最小になり、そこが通過条件(s07)の出番だった、と単元の景色がつながる。

答

(1) $v^{2} = 3 g L$ (2) $T = 3.5 m g$

別解

遠心力の立場で立てるルート。 回る立場では、外向きの遠心力 $\frac{m v ^{2}}{L}$ 、重力の半径方向成分 $m g cos θ$ (外向き…ではなく中心と逆向き)、張力 $T$ (中心向き)がつり合う:

$T = m g cos θ + \frac{m v ^{2}}{L} = 0.5 m g + 3 m g = 3.5 m g$

慣性系の運動方程式と同じ式・同じ答え。エネルギー保存のパートは立場によらず共通である。

ポイント

高さの変化は L(1−cosθ)
v² はエネルギー、T は運動方程式
T=mv₀²/L+mg(3cosθ−2)

よくある間違い

高さを Lcosθ や Lsinθ とする
重力の半径方向成分に sin を使う
エネルギー保存で張力の仕事を数えようとする(垂直なので仕事 0)