円錐振り子の周期(文字式)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 s02 の数値計算を文字で一般化する。結果の式から「何が周期を決めるのか」を読み取ることが目的である。

① 2 本の式から ω を出す。 鉛直: $S\cos \theta =mg$、水平: $S\sin \theta =m(L\sin \theta ){\omega }^2$。水平の式から $S=mL{\omega }^2$、鉛直の式に入れて

$$mL{\omega }^2\cos \theta =mg⟹\omega =\sqrt{\frac{g}{L\cos \theta }}$$

② 周期。

$$T=\frac{2\pi }{\omega }=2\pi \sqrt{\frac{L\cos \theta }{g}}$$

$\cos \theta$ は $\theta$ が大きいほど小さいから、大きく(浅く)回すほど周期は短い。質量 $m$ にはよらない。

まとめ $L\cos \theta$ は「固定点から回転面までの高さ」である。つまり周期は回転面の深さだけで決まる: $T=2\pi \sqrt{h/g}$。$\theta \to 0$ の極限では $T\to 2\pi \sqrt{L/g}$——これは次の単元で学ぶ単振り子の周期と一致する。円錐振り子を真横から見ると単振動に見える、という対応の伏線である。

別解

次元(単位)で形を検証するルート。 周期の式は $\sqrt{\frac{長さ}{加速度}}=\sqrt{\frac{\mathrm{m}}{m/{\mathrm{s}}^2}}=\mathrm{s}$ の形しかあり得ない。候補は $\sqrt{L/g}$ に無次元量($\cos \theta$ など)が掛かった形と絞れる。

力学の詳細を詰める前に「答えの形はこれしかない」と当たりを付けられるのが次元解析の強みで、検算にも一撃で効く($T=2\pi \sqrt{L\cos \theta /g}$ は確かにこの形)。