物理 / 円運動と万有引力

エレベーター内の体重計

★★ 標準慣性力見かけの重さ

問題

質量 $40 kg$ の人が、体重計に乗ってエレベーターに乗っている。エレベーターが上向きに加速度 $2.45 m/ s^{2}$ で上昇しているとき、体重計が示す値(人が体重計を押す力の大きさ)を求めよ。また、それは静止時の何倍か。重力加速度の大きさを $9.8 m/ s^{2}$ とする。

体重計にのった人。エレベーターは上向きの加速度 a で上昇している

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人と一緒に動く立場では、下向きの慣性力 ma が加わって「重力が強くなった」ように感じる。体重計が押し返す力(=表示)は、その見かけの重さとつり合う。

解答・解説

方針

上向き加速中は、見かけの重力が g+a に増える。N=m(g+a)=40×12.25=490 N。静止時 mg=392 N との比は 1.25。

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 上向きに加速するエレベーター内では、下向きの慣性力 $ma$ が加わり、見かけの重力は $m (g + a)$ に増える。体重計の表示=人が台を押す力=台が人を押す垂直抗力 $N$ で、これが見かけの重さとつり合う。

① 車内の立場でつり合い。

$N = m (g + a) = 40 \times (9.8 + 2.45) = 40 \times 12.25 = 490 N$

② 静止時との比較。 静止時は $N_{0} = m g = 392 N$ 。

$\frac{490}{392} = 1.25 倍$

まとめ エレベーターの上昇開始で体が重く感じるあの瞬間が $m (g + a)$ である。逆に下向き加速(下降開始・上昇の減速)では $m (g - a)$ に軽くなり、自由落下( $a = g$ )では 0=無重量状態。「見かけの重力 $g \pm a$ 」の 1 本で、エレベーター系の問題はすべて片づく。

答

$490 N$ ( $4.9 \times 1 0^{2} N$ )、静止時( $392 N$ )の $1.25$ 倍

別解

地上から運動方程式で解くルート。 人にはたらく力は重力 $m g$ (下)と垂直抗力 $N$ (上)。上向きを正として

$ma = N - m g ⟹ N = m (g + a) = 490 N$

慣性力を使わなくても 1 行で出る。「表示=垂直抗力」という読み替えさえできれば、どちらの立場でも同じ答えである。

ポイント

上向き加速: N=m(g+a)
下向き加速: N=m(g−a)、自由落下で 0
表示=垂直抗力

よくある間違い

上昇中はいつでも重いと考える(等速なら mg のまま)
N=ma だけにする
kg 表示と N 表示を混同する