静止衛星の軌道半径(月との比較)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 月と静止衛星は同じ地球を回る天体だから、$\frac{T^2}{r^3}$ が共通(ケプラーの第 3 法則)。既知の月を「ものさし」にして、静止衛星の軌道半径を比で出す。

① 比の式。

$$\frac{r_{衛}}{r_{月}}={\left(\frac{T_{衛}}{T_{月}}\right)}^{2/3}={\left(\frac{1}{27}\right)}^{2/3}$$

② 27^{2/3} を計算する。 3 乗根してから 2 乗: $27^{1/3}=3$、$3^2=9$。よって

$$r_{衛}=\frac{3.8\times 10^5}{9}=4.2\times 10^4\mathrm{km}$$

まとめ 地球の中心から約 4.2 万 km(地表からは約 3.6 万 km)——これが気象衛星ひまわりや放送衛星の実際の高度である。月というものさしと指数 $2/3$ の計算だけで実用の軌道が出てしまうのが、ケプラーの法則の威力である(力学からの直接計算は a08 で)。

別解

周期を 3 乗・半径を 2 乗の形で立てるルート。 ${\left(\frac{T_{月}}{T_{衛}}\right)}^2={\left(\frac{r_{月}}{r_{衛}}\right)}^3$ に数値を入れると

$$27^2=729={\left(\frac{r_{月}}{r_{衛}}\right)}^3⟹\frac{r_{月}}{r_{衛}}=\sqrt[3]{729}=9$$

$r_{衛}=3.8\times 10^5/9=4.2\times 10^4\mathrm{km}$。$729=9^3$ に気づけばこちらも速い。指数の扱いに合わせて、立てやすい形を選べばよい。