物理 / 円運動と万有引力

向心力

★ 基礎向心力

問題

質量 $2.0 kg$ の物体が、半径 $1.5 m$ の円周上を速さ $3.0 m/s$ で等速円運動している。この物体にはたらいている向心力の大きさを求めよ。

円運動を保つには中心向きの合力(向心力)が必要

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円運動を続けるには、中心向きの加速度 v²/r を生む力が必要である。運動方程式 F=ma に向心加速度を入れるだけでよい。

解答・解説

円運動の運動方程式 F=ma=mv²/r。中心向きの合力が向心力。

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 円運動は「中心向きに加速し続ける運動」だから、中心向きの力がなければ続かない。運動方程式 $F = ma$ の加速度に向心加速度を入れたものが、円運動の運動方程式である。

公式円運動の運動方程式

F = \frac{m v ^{2}}{r} = m r ω^{2}

(

F

: 中心向きの合力=向心力)

① 代入する。

$F = \frac{m v ^{2}}{r} = \frac{2.0 \times 3. 0 ^{2}}{1.5} = \frac{18}{1.5} = 12 N$

まとめ 向心力は重力や張力と並ぶ「新しい種類の力」ではない。糸の張力・摩擦力・重力などの実在の力が中心向きの合力をつくり、その役割名が向心力である。「何がその 12 N を出しているのか」を毎回言えるようにしておくと、円運動の問題は力の図示から迷わず始められる。

答

$12 N$

単位と比例で感覚をつかむルート。 $F = \frac{m v ^{2}}{r}$ は「速さ 2 倍なら力 4 倍」「半径半分なら力 2 倍」。カーブを速く曲がるほど、急カーブほど、大きな力が要る——車の運転の実感そのままである。

本問の数値でも、もし $v = 6.0 m/s$ (2 倍)なら $F = 48 N$ (4 倍)。2 乗の効き方をひとつ具体例で覚えておくと、検算の見当が速くなる。