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数学B

漸化式と数学的帰納法 漸化式の解法パターン・帰納法

漸化式の基本形から発展形までの解法、数学的帰納法による証明を扱います。

全 56 問(★基礎 12・★★標準 12・★★★応用 8・★★★★難関 8・実戦編 8・最難関編 8)

★ 基礎の問題12問

教科書レベル。定義・公式の確認と基本操作

  1. 等差型の漸化式
  2. 等比型の漸化式
  3. 階差型の漸化式
  4. 特性方程式型(基本)
  5. 漸化式から項を求める
  6. 等差数列と見抜く
  7. 等比数列と見抜く
  8. 特性方程式型(引き算)
  9. 数学的帰納法の枠組み
  10. 階差型(指数)
  11. 等比型(分数の公比)
  12. 特性方程式型(分数の係数)

★★ 標準の問題12問

定期テストレベル。典型パターンの運用

  1. 特性方程式型(標準)
  2. 階差型(2次の階差)
  3. 指数型(pₐₙ + qⁿ)
  4. 1次式型(pₐₙ + n)
  5. 連立漸化式
  6. 分数型の漸化式(逆数変換)
  7. 数学的帰納法(等式)
  8. 数学的帰納法(不等式)
  9. 和 Sₙ の漸化式から一般項
  10. 数学的帰納法(整除)
  11. 特性方程式型(公比が負)
  12. 指数型(3ₐₙ + 4ⁿ)

★★★ 応用の問題8問

入試標準レベル。複数の考え方を組み合わせる

  1. 指数型(pとqが等しい・共鳴)
  2. 分数型(等差数列に帰着)
  3. 3項間漸化式
  4. 数学的帰納法(2次式の不等式)
  5. 数学的帰納法(整除・3次)
  6. 漸化式で定めた数列の和
  7. 階差型(部分分数の階差)
  8. 3項間漸化式(重解)

★★★★ 難関の問題8問

旧帝大・早慶レベル。一部の単元に用意した挑戦枠

  1. 隣接3項間漸化式(異なる2解)
  2. 指数を含む漸化式
  3. 分数型の漸化式(逆数をとる)
  4. 1次式を含む漸化式
  5. 連立漸化式
  6. 数学的帰納法(指数と2乗の不等式)
  7. 数学的帰納法(倍数の証明)
  8. 直線で分けられる領域の数(漸化式)

実戦編の問題8問

難関大の総合問題。複数の単元を融合した単元横断の演習

  1. フィボナッチ数列の一般項(ビネの公式)
  2. 隣接する項の比の極限(黄金比)
  3. 2乗して2を引く漸化式の一般項
  4. n個の円で平面を分ける領域の数(漸化式)
  5. メルセンヌ数の最大公約数(漸化式と整数)
  6. 根号の漸化式の極限(単調・有界)
  7. 1・2・3段の上り方(トリボナッチ数列)
  8. 連立漸化式(和と差で解く)

最難関編の問題8問

東大・京大の最難関レベル。気づきにくい発想や、何段階もの議論が必要な問題

  1. 2倍角が生む周期3の数列
  2. 和と項の関係から比の畳み込みへ
  3. 不動点が2つある分数型漸化式
  4. 2乗の漸化式を対数で開く
  5. フィボナッチ数列の指数評価
  6. 漸化式が保つ性質(奇数・互いに素)
  7. 隣にしか動かせないハノイの塔
  8. 2乗で増える数列と単位分数の和

漸化式と数学的帰納法の解説(つまずきやすい点と学習の順序)

この単元の内容を使う入試過去問