漸化式と数学的帰納法 — 漸化式の解法パターン・帰納法

$a_1=2$、$a_{n+1}=a_n+3$ で定まる数列 $\{a_n\}$ の一般項を求めよ。

$a_1=3$、$a_{n+1}=2a_n$ で定まる数列 $\{a_n\}$ の一般項を求めよ。

$a_1=1$、$a_{n+1}=a_n+2n$ で定まる数列 $\{a_n\}$ の一般項を求めよ。

$a_1=1$、$a_{n+1}=2a_n+1$ で定まる数列 $\{a_n\}$ の一般項を求めよ。

$a_1=1$、$a_{n+1}=a_n+n$ で定まる数列 $\{a_n\}$ の第 $4$ 項 $a_4$ を求めよ。

$a_1=5$、$a_{n+1}-a_n=4$ で定まる数列 $\{a_n\}$ の一般項を求めよ。

$a_1=2$、$\frac{a_{n+1}}{a_n}=3$ で定まる数列 $\{a_n\}$ の一般項を求めよ。

$a_1=3$、$a_{n+1}=3a_n-4$ で定まる数列 $\{a_n\}$ の一般項を求めよ。

すべての自然数 $n$ について $1+2+3+\cdots +n=\frac{n(n+1)}{2}$ が成り立つことを、数学的帰納法で証明せよ。

$a_1=1$、$a_{n+1}=a_n+2^n$ で定まる数列 $\{a_n\}$ の一般項を求めよ。

$a_1=8$、$a_{n+1}=\frac{1}{2}{a}_n$ で定まる数列 $\{a_n\}$ の一般項を求めよ。

$a_1=4$、$a_{n+1}=\frac{1}{2}{a}_n+1$ で定まる数列 $\{a_n\}$ の一般項を求めよ。

$a_1=2$、$a_{n+1}=3a_n-2$ で定まる数列 $\{a_n\}$ の一般項を求めよ。

$a_1=2$、$a_{n+1}=a_n+2n-1$ で定まる数列 $\{a_n\}$ の一般項を求めよ。

$a_1=1$、$a_{n+1}=2a_n+3^n$ で定まる数列 $\{a_n\}$ の一般項を求めよ。

$a_1=1$、$a_{n+1}=2a_n+n$ で定まる数列 $\{a_n\}$ の一般項を求めよ。

$a_1=1$、$b_1=0$、$a_{n+1}=2a_n+b_n$、$b_{n+1}=a_n+2b_n$ で定まる数列の一般項 $a_n$、$b_n$ を求めよ。

$a_1=1$、$a_{n+1}=\frac{a_n}{a_n+2}$ で定まる数列 $\{a_n\}$ の一般項を求めよ。

すべての自然数 $n$ について $1^2+2^2+\cdots +n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ が成り立つことを、数学的帰納法で証明せよ。

$n\geqq 3$ を満たすすべての自然数 $n$ について、$2^n>2n$ が成り立つことを数学的帰納法で証明せよ。

数列 $\{a_n\}$ の初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ が $S_n=2a_n-n$ を満たす。一般項 $a_n$ を求めよ。

すべての自然数 $n$ について、$6^n-1$ は $5$ の倍数であることを数学的帰納法で証明せよ。

$a_1=0$、$a_{n+1}=-a_n+2$ で定まる数列 $\{a_n\}$ の一般項を求めよ。

$a_1=1$、$a_{n+1}=3a_n+4^n$ で定まる数列 $\{a_n\}$ の一般項を求めよ。

$a_1=1$、$a_{n+1}=2a_n+2^n$ で定まる数列 $\{a_n\}$ の一般項を求めよ。

$a_1=1$、$a_{n+1}=\frac{a_n}{2a_n+1}$ で定まる数列 $\{a_n\}$ の一般項を求めよ。

$a_1=0$、$a_2=1$、$a_{n+2}=5a_{n+1}-6a_n$ で定まる数列 $\{a_n\}$ の一般項を求めよ。

$n\geqq 5$ を満たすすべての自然数 $n$ について、$2^n>n^2$ が成り立つことを数学的帰納法で証明せよ。

すべての自然数 $n$ について、$n^3+5n$ は $6$ の倍数であることを数学的帰納法で証明せよ。

$a_1=1$、$a_{n+1}=2a_n+1$ で定まる数列 $\{a_n\}$ について、初項から第 $n$ 項までの和 $T_n=\sum _{k=1}^n{a}_k$ を求めよ。

$a_1=2$、$a_{n+1}=a_n+\frac{1}{n(n+1)}$ で定まる数列 $\{a_n\}$ の一般項を求めよ。

$a_1=1$、$a_2=4$、$a_{n+2}=4a_{n+1}-4a_n$ で定まる数列 $\{a_n\}$ の一般項を求めよ。

$a_1=1$、$a_2=4$、$a_{n+2}=5a_{n+1}-6a_n$ で定まる数列 $\{a_n\}$ の一般項を求めよ。

$a_1=1$、$a_{n+1}=2a_n+3^n$ で定まる数列 $\{a_n\}$ の一般項を求めよ。

$a_1=1$、$a_{n+1}=\frac{a_n}{2a_n+1}$ で定まる数列 $\{a_n\}$ の一般項を求めよ。

$a_1=1$、$a_{n+1}=2a_n+n$ で定まる数列 $\{a_n\}$ の一般項を求めよ。

$a_1=1$、$b_1=0$、$\{\begin{array}{l}{a}_{n+1}=a_n+2b_n\\ b_{n+1}=2a_n+b_n\end{array}$ で定まる数列 $\{a_n\}$、$\{b_n\}$ の一般項を求めよ。

$n\ge 5$ を満たすすべての自然数 $n$ について、$2^n>n^2$ が成り立つことを、数学的帰納法で証明せよ。

すべての自然数 $n$ について、$n^3+2n$ が $3$ の倍数であることを、数学的帰納法で証明せよ。

平面上に、どの $2$ 本も平行でなく、どの $3$ 本も $1$ 点で交わらない $n$ 本の直線がある。これらの直線によって平面が分けられる領域の個数 $a_n$ を求めよ。

フィボナッチ数列 $F_1=F_2=1,F_{n+2}=F_{n+1}+F_n$ の一般項を求めよ。

フィボナッチ数列 $F_1=F_2=1,F_{n+2}=F_{n+1}+F_n$ について、比 $r_n=\frac{F_{n+1}}{F_n}$ の極限 $\underset{n\to \infty }{\lim }{r}_n$ を求めよ(極限の存在は認めてよい)。

$a_1=\frac{5}{2},a_{n+1}=a_n^2-2$ で定まる数列の一般項を求めよ。

平面上に、どの $2$ つも異なる $2$ 点で交わり、どの $3$ つも $1$ 点で交わらないように $n$ 個の円をかく。これらの円が平面を分ける領域の数 $a_n$ を求めよ。

$M_n=2^n-1$ とする。$m>n$ のとき $\gcd (M_m,M_n)=\gcd (M_{m-n},M_n)$ が成り立つことを示し、これを用いて $\gcd (M_m,M_n)=2^{\gcd (m,n)}-1$ を示せ。

$a_1=\sqrt{2},a_{n+1}=\sqrt{2+a_n}$ で定まる数列の極限を求めよ。

$n$ 段の階段を、$1$ 回に $1$ 段・$2$ 段・$3$ 段のいずれかで上る。上り方の総数 $a_n$ が満たす漸化式を求め、$a_6$ を求めよ。

$a_1=1,b_1=0$、$a_{n+1}=2a_n+b_n,b_{n+1}=a_n+2b_n$ で定まる数列 $\{a_n\},\{b_n\}$ の一般項を求めよ。

数列 $\{a_n\}$ を $a_1={\sin }^2\frac{\pi }{7}$、$a_{n+1}=4a_n(1-a_n)$ で定める。

(1) すべての自然数 $n$ について $a_n={\sin }^2\frac{2^{n-1}\pi }{7}$ が成り立つことを、数学的帰納法で示せ。

(2) すべての自然数 $n$ について $a_{n+3}=a_n$ が成り立つことを示せ。

数列 $\{a_n\}$ は $a_1=1$ で、初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ が

$$S_n=\frac{n+2}{3}{a}_n$$

を満たす。一般項 $a_n$ を求めよ。

数列 $\{a_n\}$ を $a_1=3$、$a_{n+1}=\frac{4a_n-2}{a_n+1}$ で定める。

(1) $b_n=\frac{a_n-1}{a_n-2}$ とおくとき、$\{b_n\}$ が等比数列であることを示せ。

(2) 一般項 $a_n$ を求めよ。また、$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n$ を求めよ。

数列 $\{a_n\}$ を $a_1=2$、$a_{n+1}=2a_n^2$ で定める。一般項 $a_n$ を求めよ。

数列 $\{F_n\}$ を $F_1=F_2=1$、$F_{n+2}=F_{n+1}+F_n$ で定める。すべての自然数 $n$ について

$$F_n<{\left(\frac{7}{4}\right)}^n$$

が成り立つことを、数学的帰納法で示せ。

数列 $\{a_n\}$ を $a_1=1$、$a_2=3$、$a_{n+2}=4a_{n+1}-a_n$ で定める。

(1) すべての項が奇数であることを示せ。

(2) 隣り合う2項 $a_{n+1},a_n$ は互いに素であることを示せ。

3本の杭 A, B, C がこの順に一列に並び、杭 A に大きさの異なる $n$ 枚の円盤が大きい順に積まれている。円盤は1回に1枚だけ動かせ、隣り合う杭にしか移動できず(A↔B、B↔C のみ)、小さい円盤の上に大きい円盤を置くことはできない。$n$ 枚すべてを杭 A から杭 C へ移すのに必要な最小の手数を $a_n$ とする。

(1) $a_n=3a_{n-1}+2$($n\ge 2$)が成り立つことを示せ。

(2) $a_n$ を求めよ。

数列 $\{a_n\}$ を $a_1=2$、$a_{n+1}=a_n^2-a_n+1$ で定める。

(1) $\frac{1}{a_n}=\frac{1}{a_n-1}-\frac{1}{a_{n+1}-1}$ が成り立つことを示せ。

(2) $\sum _{k=1}^n\frac{1}{a_k}=1-\frac{1}{a_{n+1}-1}$ を示し、$\sum _{k=1}^n\frac{1}{a_k}<1$ がすべての $n$ で成り立つことを確かめよ。