数学的帰納法(不等式)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 不等式の帰納法で、まず確かめるのは出発点。$n=1$ では $2>2$ が偽、$n=2$ でも $4>4$ が偽 — 主張は $n\geqq 3$ から。だから (I) は $n=3$($8>6$)で確認する。

(II) では $2^{k+1}=2\cdot 2^k$ と分解して仮定 $2^k>2k$ を使う。

$$2^{k+1}=2\cdot 2^k>2\cdot 2k=4k$$

あとは $4k\geqq 2(k+1)$、つまり $2k\geqq k+1$ を言えばよい。ここで $k\geqq 3$ という前提条件が効く。不等式の帰納法は「仮定でジャンプ → 残りの差は $k$ の範囲で埋める」の二段跳びだ。

(I) $n=3$ のとき。 左辺 $2^3=8$、右辺 $2\cdot 3=6$。$8>6$ で成り立つ。

(II) $n=k$($k\geqq 3$)を仮定する。 $2^k>2k$ とする。$n=k+1$ を調べる。

$$2^{k+1}=2\cdot 2^k>2\cdot 2k=4k$$

(ここで仮定 $2^k>2k$ を使った。)あとは $4k$ が $2(k+1)$ より大きいことを示せばよい。

$$4k-2(k+1)=2k-2=2(k-1)>0(k\geqq 3\text{ より})$$

よって $4k>2(k+1)$。したがって

$$2^{k+1}>4k>2(k+1)$$

となり、$n=k+1$ でも成り立つ。

結論。 (I)(II) より、$n\geqq 3$ のすべての自然数で $2^n>2n$。

まとめ:不等式の帰納法は「$2^{k+1}=2\cdot 2^k$ に仮定を使って評価を下げ、さらに条件で押し切る」。等号でつなぐ等式とちがい、不等号を $2$ 段($>4k>2(k+1)$)つなぐのがコツだ。

発展 — 一歩先へ。 $2^n$ と $2n$ の勝負は、指数と $1$ 次式の勝負 — 出だしこそ競るが、指数は倍々で伸びるので必ず突き放す。実は $2^n>n^2$($n\geqq 5$)、$2^n>n^{10}$(十分大きな $n$)— 指数はどんな多項式にも最終的に勝つ。この事実は数IIIの極限($\frac{n^k}{2^n}\to 0$)で定理として整備される。

「小さい $n$ で反例、大きい $n$ で成立」という主張の証明には、出発点つき帰納法がぴったりはまる。出発点を探す作業($n=1,2$ を実際に試す)自体が、問題の構造の理解になっている。

別解

帰納法を使わず、$2^n$ を二項定理で下から見積もる直接証明もできる。

$2^n=(1+1{)}^n$ を展開すると、$n\geqq 2$ では最初の $3$ 項だけでも

$$2^n=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{0}\right)+\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{1}\right)+\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{2}\right)+\cdots \geqq 1+n+\frac{n(n-1)}{2}$$

これが $2n$ を超える条件を整理すると

$$1+n+\frac{n(n-1)}{2}>2n⟺n^2-3n+2>0⟺(n-1)(n-2)>0$$

$n\geqq 3$ なら両因数が正で成立。証明終わり。

境界の様子も因数分解が教えてくれる。$n=2$ では $(n-1)(n-2)=0$ — ちょうど等号($4=4$)になる瞬間で、主張が $n\geqq 3$ から始まる理由が式に現れている。指数の不等式は「二項展開の頭数項で押さえる」— 帰納法と並ぶ、もうひとつの標準武器だ。