数学B / 漸化式と数学的帰納法

特性方程式型(分数の係数)

★ 基礎漸化式特性方程式

問題

$a_{1} = 4$ 、 $a_{n + 1} = \frac{1}{2} a_{n} + 1$ で定まる数列 ${a_{n}}$ の一般項を求めよ。

ヒントを見る

係数が分数でも『何倍かして定数を足す』型の攻め方は同じ。両辺から同じ数を引いて等比に直す — その数の見つけ方を思い出そう。

解答・解説

方針

特性方程式 $α = \frac{1}{2} α + 1$ を解いて $α = 2$ 。 $a_{n + 1} - 2 = \frac{1}{2} (a_{n} - 2)$ と変形し、 ${a_{n} - 2}$ を公比 $\frac{1}{2}$ の等比数列とみる。

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $a_{n + 1} = \frac{1}{2} a_{n} + 1$ — 掛けて、足す。 $a_{n + 1} = p a_{n} + q$ の形だ。

係数が分数でも、特性方程式型の手順は $1$ ミリも変わらない。

$α = \frac{1}{2} α + 1$

これを解くと $α = 2$ 。

$a_{n + 1} - 2 = \frac{1}{2} (a_{n} - 2)$

$a_{n} - 2$ が、公比 $\frac{1}{2}$ の等比数列になる。

「分数だから難しそう」と身構えないことだ。 $p$ が $2$ でも $3$ でも $\frac{1}{2}$ でも、やることは同じ — 不動点 $α$ を求めて、そこからのズレを追う。

型が同じなら、手順も同じ。 これを確認するのが、この問題の役目である。

重要係数が分数でも特性方程式は同じ。

α = p α + q

の解

α

で

a_{n + 1} - α = p (a_{n} - α)

① 特性方程式を解く。 $α = \frac{1}{2} α + 1$ より $\frac{1}{2} α = 1$ 、 $α = 2$ 。

② $α$ を引いて等比の形に。

$a_{n + 1} - 2 = \frac{1}{2} (a_{n} - 2)$

③ 置きかえる。 $b_{n} = a_{n} - 2$ とおくと公比 $\frac{1}{2}$ の等比数列。初項 $b_{1} = a_{1} - 2 = 2$ 。

$b_{n} = 2 \cdot (\frac{1}{2})^{n - 1} = 2^{1 - (n - 1)} = 2^{2 - n}$

④ $a_{n}$ に戻す。

$a_{n} = 2 + 2^{2 - n}$

まとめ:係数 $p = \frac{1}{2}$ でも流れは変わらない。特性方程式で $α = 2$ を出し、 $a_{n} - 2$ を公比 $\frac{1}{2}$ の等比数列とみる。 $n$ が大きくなると $a_{n}$ は $2$ に近づく(不動点に収束する)。

発展 — 一歩先へ。 「どこから始めても、同じところに落ち着く」— この性質は、実は数学の強力な定理につながっている。

電卓で実験してみよう。

好きな数を入れて(単位はラジアン)、 $cos$ ボタンを何度も押す。

$1 \to 0.5403 \to 0.8576 \to 0.6543 \to 0.7935 \to 0.7014 \to \dots$

押し続けると、どんな数から始めても

$0.739085 \dots$

に落ち着く。

これが $cos$ の不動点だ。

$cos x = x の解$

$x = 0.739085 \dots$ (ドッティ数と呼ばれる)。

なぜ収束するのか。 この問題と同じ理屈である。不動点の近くで、 $cos$ は距離を縮めるからだ( $∣ (cos x)^{'} ∣ = ∣ sin x ∣ < 1$ )。

ズレが毎回縮む → 不動点に吸い寄せられる。

この問題では、縮む割合が $\frac{1}{2}$ だった。 $cos$ の場合は約 $0.67$ 倍。 $1$ 未満でありさえすれば、必ず収束する。

$距離を縮める写像は、ただ 1 つの不動点をもち、どこから始めてもそこに収束する$

これを縮小写像の原理(バナッハの不動点定理)という。

この定理は、現代数学の屋台骨である。

方程式の解の存在証明: 「解がある」ことを、繰り返しの収束から示す
微分方程式の解の一意性: 解がただ $1$ つであることの根拠
GPS の位置計算: 繰り返し補正して、真の位置に収束させる
機械学習: パラメータを繰り返し更新し、最適値へ近づける

「繰り返せば、答えにたどり着く」 — コンピュータが方程式を解く方法は、突き詰めればこれだ。

$a_{n + 1} = \frac{1}{2} a_{n} + 1$ を何度も繰り返すと $2$ に着く。 その素朴な事実の中に、数値計算のすべての原理が入っている。

答

$a_{n} = 2 + 2^{2 - n}$ (すなわち $2 + \frac{1}{2 ^{n - 2}}$ )

別解

「 $2$ に吸い寄せられていく」— ズレの視点で見る。

まず、実際に項を出してみよう。

$a_{1} = 4$ $a_{2} = \frac{1}{2} \times 4 + 1 = 3$ $a_{3} = \frac{1}{2} \times 3 + 1 = 2.5$ $a_{4} = \frac{1}{2} \times 2.5 + 1 = 2.25$ $a_{5} = 2.125, a_{6} = 2.0625, \dots$

$2$ に近づいている。 しかも、 $2$ との差がきれいに半分ずつになっている。

$2, 1, 0.5, 0.25, 0.125, \dots$

この $2$ という数の正体は何か。

「動かない値」だ。 もし $a_{n} = 2$ なら

$a_{n + 1} = \frac{1}{2} \times 2 + 1 = 2$

ずっと $2$ のまま。 これを不動点という。

ズレを追う。 $d_{n} = a_{n} - 2$ とおくと

$d_{n + 1} = a_{n + 1} - 2 = (\frac{1}{2} a_{n} + 1) - 2 = \frac{1}{2} a_{n} - 1 = \frac{1}{2} (a_{n} - 2) = \frac{1}{2} d_{n}$

$d_{n + 1} = \frac{1}{2} d_{n}$

ズレは、毎回きっかり半分。 初項は $d_{1} = 4 - 2 = 2$ だから

$d_{n} = 2 \cdot (\frac{1}{2})^{n - 1} = 2^{2 - n}$

不動点に足し戻す。

$a_{n} = 2 + 2^{2 - n}$

本解と同じ答え ✓

この見方の面白さ。

さっき見た $a_{n + 1} = 3 a_{n} - 4$ も、不動点は $2$ だった。 だが、そこではズレが $3$ 倍ずつ拡大し、数列は $2$ から吹き飛んでいった。

今回は、ズレが半分ずつ縮小する。 どんな初項から始めても、必ず $2$ に近づく。

$a_{1} = 100 ⟹ 51, 26.5, 14.25, 8.125, \dots \to 2$

$a_{1} = - 50 ⟹ - 24, - 11, - 4.5, - 1.25, \dots \to 2$

どこから始めても、行き先は $2$ 。

$∣ p ∣ < 1 なら不動点に収束、 ∣ p ∣ > 1 なら発散$

係数 $p$ の大きさが、運命を決める。 $\frac{1}{2}$ と $3$ の違いが、「吸い寄せる」と「突き放す」の違いになる。

すり鉢の底に落ちるビー玉と、鉛筆の先で立とうとするビー玉。 同じ「不動点」でも、性格は正反対なのだ。

ポイント

分数係数でも特性方程式で $α$ を求める。
$a_{n} - α$ が公比 $p$ の等比数列。

よくある間違い

特性方程式 $α = \frac{1}{2} α + 1$ の移項で $\frac{1}{2} α = 1$ を $α = \frac{1}{2}$ としてしまう。両辺を $2$ 倍して $α = 2$
$a_{n} - 2$ の初項を $a_{1} = 4$ のままにする。等比になるのは $a_{n} - 2$ なので、初項は $4 - 2 = 2$
$2 \cdot (\frac{1}{2})^{n - 1}$ の指数整理で $2^{1 - (n - 1)} = 2^{2 - n}$ とすべきところを $2^{1 - n}$ と誤る。 $2 = 2^{1}$ を忘れない