階差型(指数)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $a_{n+1}=a_n+2^n$ — 足し算だが、足す量が $2^n$ と急激に増える。

$$a_{n+1}-a_n=2^n$$

差が $n$ の式で書けている。 つまり階差型だ。

足す量を並べてみる。

$$2,4,8,16,32,\dots$$

この足す量そのものが、等比数列になっている。

手順は階差型のまま。 初項から差を足し上げる。

$$a_n=a_1+\sum _{k=1}^{n-1}{2}^k$$

違うのは、足し上げる中身だ。 前に見た階差型は $\Sigma$ の公式($1$ 次式の和)を使ったが、今回は等比数列の和の公式を使う。

「階差型の枠 $+$ 等比の和」 — $2$ つの道具の組み合わせである。

① 階差を確かめる。 $a_{n+1}-a_n=2^n$。

② 和で一般項を出す($n\geqq 2$)。 階差 $2^k$ の和は等比数列の和。

$$\sum _{k=1}^{n-1}{2}^k=\frac{2(2^{n-1}-1)}{2-1}=2^n-2$$

よって

$$a_n=1+(2^n-2)=2^n-1$$

③ $n=1$ を確認する。 $a_1=2^1-1=1$ で一致。

$$a_n=2^n-1$$

まとめ:階差が指数($2^n$)のときは、階差の和が等比数列の和になる。${\sum }_{k=1}^{n-1}{2}^k=2^n-2$($2+4+\cdots +2^{n-1}$)を正しく出すのがカギだ。

発展 — 一歩先へ。 この数列は $2$ 倍ずつ増えるから、どこまでも大きくなる。

では、逆に「半分ずつ」ならどうなるか。

$$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\cdots$$

足しても足しても、増え方が小さくなっていく。 どこかで止まるのか、それとも無限に大きくなるのか。

部分和を計算してみよう。 等比数列の和の公式(公比 $\frac{1}{2}$)で

$$S_n=\frac{1\cdot \left(1-{\left(\frac{1}{2}\right)}^n\right)}{1-\frac{1}{2}}=2-\frac{1}{2^{n-1}}$$

$$S_1=1,S_2=1.5,S_3=1.75,S_4=1.875,S_{10}=1.998\dots$$

$2$ に近づくが、決して $2$ を超えない。

$$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\cdots =2$$

無限個を足したのに、答えは有限。 これを無限級数の収束という(数学IIIで詳しく学ぶ)。

この事実は、$2500$ 年前から人を悩ませてきた。

ゼノンのパラドックス。

アキレスが $1$ km 先の亀を追う。アキレスが $1$ km 進むと、亀は少し先へ。その地点に着くと、亀はまた少し先へ。

「追いつくには無限回の"追いかけ"が必要だ。だから永遠に追いつけない。」

どこがおかしいか。

各段階の時間を足すと

$$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\cdots =2$$

無限回の追いかけに、合計 $2$ 時間しかかからない。

「無限に多くのステップ $=$ 無限に長い時間」ではない。 これがパラドックスの答えである。

同じ数列 $2^n$ が、方向によって正反対の顔を見せる。

• 掛ける方向($2,4,8,\dots$)→ 爆発して発散
• 割る方向($\frac{1}{2},\frac{1}{4},\frac{1}{8},\dots$)→ 収束して有限

「$2$ 倍ずつ増える」と「$2$ 分の $1$ ずつ減る」。 同じ公比 $2$ の裏表が、無限の $2$ つの姿を教えてくれる。

別解

$2$ 進法の目で見ると、答えが一瞬で見える。

まず、数列を書き出そう。

$$1,3,7,15,31,63,\dots$$

この数たちを、$2$ 進法で書いてみる。

$$1=1_{(2)}$$ $$3=11_{(2)}$$ $$7=111_{(2)}$$ $$15=1111_{(2)}$$

$a_n$ は「$1$ が $n$ 個並んだ数」だ!

なぜそうなるか。 $a_n$ は $1+2+4+\cdots +2^{n-1}$、つまり $2$ の累乗を $1$ 個ずつ集めたもの。$2$ 進法で書けば、各桁に $1$ が立つ。

ここからが本題だ。「$1$ が $n$ 個」に、$1$ を足すとどうなるか。

$$111_{(2)}+1=1000_{(2)}$$

繰り上がりが連鎖して、桁が $1$ つ増える。 $10$ 進法で $999+1=1000$ となるのと、まったく同じ現象だ。

$$1000_{(2)}=2^3=8$$

つまり

$$a_n+1=2^n$$

$$a_n=2^n-1$$

本解と同じ答え。$\Sigma$ の計算を $1$ 度もしていない。

確かめる。 $7+1=8=2^3$ ✓、$31+1=32=2^5$ ✓

この見方が示すこと。

等比数列の和の公式

$$1+2+4+\cdots +2^{n-1}=2^n-1$$

は、「$999\dots 9$ に $1$ を足すと $1000\dots 0$」の $2$ 進法版にすぎない。

公式を暗記する代わりに、$2$ 進法の繰り上がりを思い出せばいい。

応用。 $1$ g、$2$ g、$4$ g、$8$ g の分銅が $1$ 個ずつあると、$1$ g から $15$ g までの重さをすべて量れる。

$$5=4+1,11=8+2+1,15=8+4+2+1$$

$n$ 個の分銅($1,2,4,\dots ,2^{n-1}$)で、$1$ から $2^n-1$ まで量れる。

しかも、量り方は $1$ 通りしかない($2$ 進法表示が一意だから)。

コンピュータが $2$ 進法を使うのも、同じ理由だ。 $n$ ビットで $0$ から $2^n-1$ までを、重複なく表せる。

$a_n=2^n-1$。 この数列は、$2$ 進法の世界の"満タン"を表している。