数学B / 漸化式と数学的帰納法

3項間漸化式(重解)

★★★ 応用漸化式3項間

問題

$a_{1} = 1$ 、 $a_{2} = 4$ 、 $a_{n + 2} = 4 a_{n + 1} - 4 a_{n}$ で定まる数列 ${a_{n}}$ の一般項を求めよ。

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$2$ 次方程式が重解になる特殊ケース。等比の式が $1$ 本しか作れないが、その式の両辺をあるもので割ると等差数列に化ける — 底が重なる型と同じ発想が使える。

解答・解説

方針

特性方程式 $x^{2} = 4 x - 4$ が重解 $x = 2$ をもつ場合。重解のときは $a_{n + 1} - 2 a_{n}$ が公比 $2$ の等比数列になることを使い、そこからさらに $\frac{a _{n}}{2 ^{n}}$ が等差数列になることを導く。

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $3$ 項間の特性方程式 $x^{2} = 4 x - 4$ を解くと、重解 $x = 2$ になる。

解が $1$ つしかないと、いつもの「 $2$ 本の等比を作って引く」が使えない。等比の式は $a_{n + 1} - 2 a_{n}$ の $1$ 本しか作れない。

その $1$ 本 $a_{n + 1} - 2 a_{n}$ は公比 $2$ の等比。これを $2^{n + 1}$ で割ると、今度は等差数列が現れる。

「重解では等比が $1$ 本、あとは割って等差に落とす」。底が重なる指数型と同じ逃げ道だ。

重要

3

項間で特性方程式が重解

α

のとき、一般項は

a_{n} = (A + B n) α^{n}

の形

① 特性方程式を解く。 $x^{2} = 4 x - 4$ より $x^{2} - 4 x + 4 = (x - 2)^{2} = 0$ 、重解 $x = 2$ 。

② $a_{n + 1} - 2 a_{n}$ を等比数列にする。 重解のとき $a_{n + 1} - 2 a_{n}$ は公比 $2$ の等比数列。初項 $a_{2} - 2 a_{1} = 4 - 2 = 2$ 。

$a_{n + 1} - 2 a_{n} = 2 \cdot 2^{n - 1} = 2^{n}$

③ 両辺を $2^{n + 1}$ で割る。 $\frac{a _{n + 1}}{2 ^{n + 1}} - \frac{a _{n}}{2 ^{n}} = \frac{2 ^{n}}{2 ^{n + 1}} = \frac{1}{2}$ 。 $b_{n} = \frac{a _{n}}{2 ^{n}}$ とおくと

$b_{n + 1} = b_{n} + \frac{1}{2}$

公差 $\frac{1}{2}$ の等差数列。初項 $b_{1} = \frac{a _{1}}{2} = \frac{1}{2}$ 。

$b_{n} = \frac{1}{2} + (n - 1) \cdot \frac{1}{2} = \frac{n}{2}$

④ $a_{n}$ に戻す。

$a_{n} = b_{n} \cdot 2^{n} = \frac{n}{2} \cdot 2^{n} = n \cdot 2^{n - 1}$

まとめ: $3$ 項間で特性方程式が重解になると、 $2$ 本の等比数列が作れない。代わりに $a_{n + 1} - 2 a_{n}$ ( $= 2^{n}$ )を作り、 $2^{n + 1}$ で割って $\frac{a _{n}}{2 ^{n}}$ を等差数列にする。結果は $(A + B n) 2^{n}$ の形になる。

発展 — 一歩先へ。 答え $n \cdot 2^{n - 1}$ には、数え上げの意味がある。 $n$ 人から委員会を選び、その中で委員長を $1$ 人決める場合の数だ。

委員長を先に $n$ 通りで選ぶ。残る $n - 1$ 人はそれぞれ委員会に入れるか入れないかの $2$ 通りずつだから $2^{n - 1}$ 。かけて $n \cdot 2^{n - 1}$ になる。

式で言えば $\sum_{k = 1}^{n} k (k n) = n \cdot 2^{n - 1}$ 。漸化式から出た値が、じつは「 $k$ 人の委員会に委員長 $1$ 人」を人数 $k$ で合計したものと同じ、という別の顔をもっている。

答

$a_{n} = n \cdot 2^{n - 1}$

別解

別解 — 重解の一般形 $(A + B n) 2^{n - 1}$ を先においてしまう(得意な人向けの視点)。 重解のときの一般項は「 $1$ 次式 $\times$ 累乗」の形になる、という事実を使う。

$a_{n} = (A + B n) \cdot 2^{n - 1}$ とおく。特性方程式が重解 $2$ をもつので、この形はどんな $A, B$ でも漸化式 $a_{n + 2} = 4 a_{n + 1} - 4 a_{n}$ を満たす。

あとは初項で $A, B$ を決める。 $a_{1} = (A + B) \cdot 1 = 1$ 、 $a_{2} = (A + 2 B) \cdot 2 = 4$ より

$A + B = 1, A + 2 B = 2.$

引き算して $B = 1$ 、 $A = 0$ 。よって

$a_{n} = (0 + n) \cdot 2^{n - 1} = n \cdot 2^{n - 1} .$

本解と同じ答え。等比を作って割る本解に対し、こちらは重解の一般形を先に置いて係数だけ決める発想だ。

ポイント

特性方程式が重解 $α$ → $a_{n} = (A + B n) α^{n}$ 。
$a_{n + 1} - α a_{n}$ を作り、 $α^{n + 1}$ で割って等差に。

よくある間違い

特性方程式が重解なのに異なる $2$ 解のつもりで $A \cdot 2^{n} + B \cdot 2^{n}$ とおき、 $2$ 項が重なって係数が決まらない。
$a_{n + 1} - 2 a_{n}$ の初項 $a_{2} - 2 a_{1} = 2$ を取り違え、等比の初項を誤る。
$b_{n} = \frac{a _{n}}{2 ^{n}}$ の初項を $b_{1} = a_{1} = 1$ とし(正しくは $\frac{1}{2}$ )、切片がずれる。