階差型(2次の階差)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $a_{n+1}=a_n+(2n-1)$ — 前の項に「$n$ で変わる量」を足していく形。これは階差数列の型だ。

差を積み上げれば任意の項に着く。$n\geqq 2$ で

$$a_n=a_1+\sum _{k=1}^{n-1}(2k-1)$$

足すのは奇数 $1,3,5,\dots$ — 奇数の和は平方数になるから、$\Sigma$ の計算は軽い。上端が $n-1$ であることと、最後の $n=1$ の確認だけ丁寧に。

① 階差を確かめる。 $a_{n+1}-a_n=2n-1$。

② 和で一般項を出す($n\geqq 2$)。 階差 $2k-1$ は奇数。$n-1$ 個の奇数の和は $(n-1{)}^2$。

$$a_n=2+\sum _{k=1}^{n-1}(2k-1)=2+(n-1{)}^2$$

③ 展開して整理する。

$$a_n=2+(n^2-2n+1)=n^2-2n+3$$

④ $n=1$ を確認する。 $a_1=1-2+3=2$ で一致。

$$a_n=n^2-2n+3$$

まとめ:階差が奇数 $2k-1$ なら、和が平方数 $(n-1{)}^2$ になって計算が楽。$\Sigma$ 公式で地道に出しても同じだが、奇数の和 = 平方 を知っていると速い。

発展 — 一歩先へ。 階差が $n$ の $1$ 次式なら、一般項は $n$ の $2$ 次式になる — 差をとると次数が $1$ 下がる(逆に積むと $1$ 上がる)という、微分・積分の関係の離散版だ。階差が $2$ 次なら一般項は $3$ 次、と次数の見積もりが先にできる。

逆向きの目も役立つ。「一般項が $2$ 次式の数列」を見たら、階差は必ず等差数列になっている。数列の型あては、階差を $1$ 回とってみるのが最初の診察になる。

別解

答え $n^2-2n+3$ は、形を変えると意味が読める。

$$a_n=(n-1{)}^2+2$$

書き出して確かめると $a_1=0+2=2$、$a_2=1+2=3$、$a_3=4+2=6$、$a_4=9+2=11$ — 逐次計算($2,3,6,11,18$)と一致する。

この形が語っていること: スタートの $2$ に、奇数 $1,3,5,\dots$ を $n-1$ 個積むと、奇数の和の分 $=(n-1{)}^2$ だけ増える。「初項 $+$ 奇数の和 $=$ 初項 $+$ 平方数」という問題の構造が、式の見た目にそのまま残っている。

平方完成した形で答えを持っておくと、検算($n$ に小さい値を代入)も速いし、展開ミスがあれば $(n-1{)}^2+2$ との照合ですぐ気づける。