フィボナッチ数列の一般項(ビネの公式)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 3項間漸化式 $F_{n+2}=F_{n+1}+F_n$ の一般項は、等比数列 $x^n$ を試すのが出発点だ。

$x^n$ を代入すると $x^2=x+1$(特性方程式)。この2解 $\phi ,\psi$ が「素材の等比数列」になる。

一般項は $F_n=A{\phi }^n+B{\psi }^n$ の形。あとは初期条件 $F_1=F_2=1$ で係数 $A,B$ を決めるだけだ。

① 特性方程式を解く。 $x^2=x+1$、すなわち $x^2-x-1=0$ の解は $$\phi =\frac{1+\sqrt{5}}{2},\psi =\frac{1-\sqrt{5}}{2}.$$ ② 一般項の形。 $F_n=A{\phi }^n+B{\psi }^n$ とおく。$F_1=F_2=1$ を代入(あるいは $F_0=0,F_1=1$ を使う)して $$A\phi +B\psi =1,A{\phi }^2+B{\psi }^2=1.$$ ③ $A,B$ を決める。 $\phi -\psi =\sqrt{5}$ に注意して解くと $A=\frac{1}{\sqrt{5}},B=-\frac{1}{\sqrt{5}}$。よって $$F_n=\frac{{\phi }^n-{\psi }^n}{\sqrt{5}}=\frac{1}{\sqrt{5}}\left\{{\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)}^n-{\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)}^n\right\}.$$

まとめ $3$ 項間漸化式は特性方程式の $2$ 解のべきの線形結合。フィボナッチでは黄金比 $\phi$ とその共役 $\psi$ で $F_n=\frac{{\phi }^n-{\psi }^n}{\sqrt{5}}$(ビネの公式)。整数列に無理数が現れるが、${\psi }^n$ の項と合わさって必ず整数になる。漸化式・無理数の融合。

発展 — 一歩先へ。 $\psi =\frac{1-\sqrt{5}}{2}$ は $|\psi |<1$ なので ${\psi }^n\to 0$。だから $F_n$ は $\frac{{\phi }^n}{\sqrt{5}}$ に最も近い整数で表せる。同じ「消える項」の構造は、${\phi }^n=\phi \cdot F_n+F_{n-1}$ のようなフィボナッチ恒等式や、リュカ数列(初期値違い)にも共通する。

別解

別解 — 「最も近い整数」で捉える(得意な人向けの高い視点)。 ビネの公式 $F_n=\frac{{\phi }^n-{\psi }^n}{\sqrt{5}}$ で、$\psi =\frac{1-\sqrt{5}}{2}\approx -0.618$ は絶対値が $1$ 未満。だから ${\psi }^n$ は $n$ が大きいほど $0$ に近づく。

つまり $F_n$ は $\frac{{\phi }^n}{\sqrt{5}}$ にごく近い。実際、両者の差は $\frac{|\psi {|}^n}{\sqrt{5}}<\frac{1}{2}$ なので

$$F_n=\left[\frac{{\phi }^n}{\sqrt{5}}\text{に最も近い整数}\right].$$

たとえば $\frac{{\phi }^{10}}{\sqrt{5}}=55.003\cdots$ を四捨五入して $F_{10}=55$。

無理数だらけの式が、四捨五入ひとつで整数のフィボナッチ数を返す。${\psi }^n\to 0$ という「消える項」の存在が、この便利な近似を保証している。