2乗して2を引く漸化式の一般項

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 非線形漸化式 $a_{n+1}=a_n^2-2$ は、$a_n$ を $x^k+x^{-k}$ の形で表せると一気に見通せる。なぜなら $${\left(x^k+x^{-k}\right)}^2-2=x^{2k}+2+x^{-2k}-2=x^{2k}+x^{-2k}$$ で、$2$ 乗して $2$ を引くと指数が $2$ 倍になるだけ。だから最初に $a_1=x+\frac{1}{x}$ となる $x$ を見つければ、$a_n$ は $x$ の指数が $2$ のべきで増えていく形になる。$a_1=\frac{5}{2}=2+\frac{1}{2}$ だから $x=2$。漸化式と指数の融合。

① $a_1$ を $x+\frac{1}{x}$ の形に。 $a_1=\frac{5}{2}=2+\frac{1}{2}=2+2^{-1}$。よって $x=2$ とすれば $a_1=2^1+2^{-1}$。

② 指数の変化を追う。 $a_n=2^k+2^{-k}$ とすると、①の変形で $$a_{n+1}=a_n^2-2=2^{2k}+2^{-2k}.$$ つまり指数 $k$ は毎回 $2$ 倍になる。$a_1$ で $k=1$ だから、$a_n$ では $k=2^{n-1}$。

③ 一般項。 $$a_n=2^{2^{n-1}}+2^{-2^{n-1}}=2^{2^{n-1}}+\frac{1}{2^{2^{n-1}}}.$$ (検算:$a_2=2^2+2^{-2}=4+\frac{1}{4}=\frac{17}{4}={\left(\frac{5}{2}\right)}^2-2$。)

まとめ $2$ 乗して $2$ を引く漸化式は、$x^k+x^{-k}$ の形で指数が $2$ 倍になる性質を使う。$a_1=2+\frac{1}{2}$ から $x=2,k=2^{n-1}$ で $a_n=2^{2^{n-1}}+2^{-2^{n-1}}$。漸化式と指数の融合。

発展 — 一歩先へ。 $a_{n+1}=a_n^2-2$ は $a_n=x^{2^{n-1}}+x^{-2^{n-1}}$ で解けたが、$|a_1|<2$ なら $a_1=2\cos \theta$ とおけて $a_n=2\cos (2^{n-1}\theta )$ という三角関数の姿になる。$x+\frac{1}{x}$(双曲線側)と $2\cos \theta$(円側)の使い分けは、$a_1$ が $2$ より大きいか小さいかで決まる。

別解

別解 — 積を望遠鏡にして一般項を確かめる(得意な人向けの高い視点)。 $x=2$ として $a_n=x^{2^{n-1}}+x^{-2^{n-1}}$ が答え。この形は、積の望遠鏡でも裏づけられる。

$x-\frac{1}{x}$ を各項に掛けると、$\left(x^k-x^{-k}\right)\left(x^k+x^{-k}\right)=x^{2k}-x^{-2k}$ という「差が2倍角に化ける」関係が使える。これを $a_1,a_2,\dots ,a_{n-1}$ に順に適用すると

$$\left(x-\frac{1}{x}\right)a_1{a}_2\cdots a_{n-1}=x^{2^{n-1}}-x^{-2^{n-1}}.$$

左辺の積が次々に折りたたまれ、右辺だけが残る(望遠鏡)。$x=2$ を入れると、部分積 $a_1\cdots a_{n-1}$ の値まで一気に分かる。

「$2$ 乗して $2$ を引くと指数が倍」(本解)を和の側から見たのに対し、この望遠鏡は積の側から同じ構造を照らす。$a_n=x^{2^{n-1}}+x^{-2^{n-1}}$ が確かに漸化式と初期値に合うことの、独立な検算にもなっている。