数学B / 漸化式と数学的帰納法

分数型の漸化式(逆数をとる)

★★★★ 難関漸化式分数型逆数

問題

$a_{1} = 1$ 、 $a_{n + 1} = \frac{a _{n}}{2 a _{n} + 1}$ で定まる数列 ${a_{n}}$ の一般項を求めよ。

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分数型は逆数をとると簡単になることが多い。 $\frac{1}{a _{n + 1}}$ を計算すると、 $\frac{1}{a _{n}}$ の漸化式(等差型)になる。

解答・解説

方針

両辺の逆数をとると $\frac{1}{a _{n + 1}} = \frac{2 a _{n} + 1}{a _{n}} = 2 + \frac{1}{a _{n}}$ 。 $b_{n} = \frac{1}{a _{n}}$ とおくと $b_{n + 1} = b_{n} + 2$ という等差数列になる。

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $a_{n + 1} = \frac{a _{n}}{2 a _{n} + 1}$ は、分子・分母の両方に $a_{n}$ がいて、そのままでは手がつかない。

分数型の漸化式は「逆数をとる」と急に簡単になることが多い。 $\frac{1}{a _{n + 1}}$ を作ってみるのが第一手。

計算すると $\frac{2 a _{n} + 1}{a _{n}} = 2 + \frac{1}{a _{n}}$ 。 $\frac{1}{a _{n}}$ の世界では、ただの等差数列になっている。

そこで $b_{n} = \frac{1}{a _{n}}$ とおいて等差数列として解き、最後に逆数を戻す。

重要分数型

a_{n + 1} = \frac{a _{n}}{p a _{n} + q}

は、逆数

b_{n} = \frac{1}{a _{n}}

をとると

b_{n + 1} = q b_{n} + p

の形になる

① 逆数をとる。

$\frac{1}{a _{n + 1}} = \frac{2 a _{n} + 1}{a _{n}} = 2 + \frac{1}{a _{n}}$

$b_{n} = \frac{1}{a _{n}}$ とおくと

$b_{n + 1} = b_{n} + 2$

② 等差数列を解く。 $b_{1} = \frac{1}{a _{1}} = 1$ 、公差 $2$ の等差数列だから

$b_{n} = 1 + 2 (n - 1) = 2 n - 1$

③ $a_{n}$ に戻す。

$a_{n} = \frac{1}{b _{n}} = \frac{1}{2 n - 1}$

(検算: $a_{1} = 1$ 、 $a_{2} = \frac{1}{2 \cdot 1 + 1} = \frac{1}{3} = \frac{1}{2 \cdot 2 - 1}$ 。)

まとめ:分数型は「逆数をとって等差(または等比)型に」。 $\frac{1}{a _{n + 1}} = 2 + \frac{1}{a _{n}}$ となり、 $b_{n} = \frac{1}{a _{n}}$ が公差 $2$ の等差。最後に逆数を戻して $a_{n} = \frac{1}{2 n - 1}$ 。

発展 — 一歩先へ。 逆数で線形になるのは偶然ではない。 $a_{n + 1} = \frac{a _{n}}{2 a _{n} + 1}$ は分数一次変換(メビウス変換)で、この種の変換は $2 \times 2$ 行列の積に対応する。

分母の定数がちょうど $1$ だから逆数が等差になったが、一般の $\frac{α a _{n} + β}{γ a _{n} + δ}$ 型も、逆数や一次分数の置き換えで線形漸化式に化ける。

連分数の理論もこの延長にある。分数の漸化式を見たら「逆数」「行列」を思い出すと道が拓ける。

答

$a_{n} = \frac{1}{2 n - 1}$

別解

別解 — 数項を書き出して規則を見つける(苦手な人向けの実験ルート)。 逆数の変形を思いつかなくても、最初の数項を計算すれば形が見える。

$a_{1} = 1$ 。 $a_{2} = \frac{1}{2 \cdot 1 + 1} = \frac{1}{3}$ 。 $a_{3} = \frac{1/3}{2/3 + 1} = \frac{1/3}{5/3} = \frac{1}{5}$ 。 $a_{4} = \frac{1/5}{2/5 + 1} = \frac{1/5}{7/5} = \frac{1}{7}$ 。

並べると $1, \frac{1}{3}, \frac{1}{5}, \frac{1}{7}, \dots$ 。分母が $1, 3, 5, 7$ と奇数で並ぶ。

つまり $a_{n} = \frac{1}{2 n - 1}$ と予想できる。逆数 $b_{n} = 2 n - 1$ が公差 $2$ の等差になっているのが、逆数変換のうまくいく理由。

分母だけ見れば規則は一目瞭然。実験で答えを見抜き、逆数変換でその裏づけをとる、という順でも解ける。

ポイント

逆数で $b_{n + 1} = b_{n} + 2$ (等差、 $b_{1} = 1$ )。
$b_{n} = 2 n - 1$ 、 $a_{n} = \frac{1}{2 n - 1}$ 。

よくある間違い

$\frac{2 a _{n} + 1}{a _{n}}$ を $2 + \frac{1}{a _{n}}$ と分解できず、逆数の漸化式を作り損ねる。
逆数 $b_{n}$ の漸化式を等比と誤り、公差 $2$ の等差であることを見落とす。
$b_{n} = 2 n - 1$ まで求めて満足し、最後に $a_{n} = \frac{1}{b _{n}}$ と戻すのを忘れる。