数学B / 漸化式と数学的帰納法

連立漸化式(和と差で解く)

実戦編漸化式連立漸化式対称性一般項単元横断

問題

$a_{1} = 1, b_{1} = 0$ 、 $a_{n + 1} = 2 a_{n} + b_{n}, b_{n + 1} = a_{n} + 2 b_{n}$ で定まる数列 ${a_{n}}, {b_{n}}$ の一般項を求めよ。

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$2$ 式を足すと $(a + b)_{n + 1} = 3 (a + b)_{n}$ 、引くと $(a - b)_{n + 1} = (a - b)_{n}$ 。和と差の等比数列を解き、 $a, b$ に戻す。

解答・解説

方針

$2$ つの漸化式を足すと $a + b$ の等比漸化式、引くと $a - b$ の等比漸化式になる。それぞれ解いて、和と差から $a_{n}, b_{n}$ を復元する。

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 2つの漸化式が $a_{n}, b_{n}$ を混ぜ合っている。混ざりをほどく定番が「和」と「差」だ。

2式を足すと $a_{n + 1} + b_{n + 1} = 3 (a_{n} + b_{n})$ — 和は公比 $3$ の等比数列。引くと $a_{n + 1} - b_{n + 1} = a_{n} - b_{n}$ — 差は一定。

和と差が別々に解ければ、 $a_{n} = \frac{( 和 ) + ( 差 )}{2}$ で復元できる。連立を「独立な2つ」に分離するのが急所だ。

① 和と差の漸化式。 $2$ 式を足すと $a_{n + 1} + b_{n + 1} = (2 a_{n} + b_{n}) + (a_{n} + 2 b_{n}) = 3 (a_{n} + b_{n}) .$ 引くと $a_{n + 1} - b_{n + 1} = (2 a_{n} + b_{n}) - (a_{n} + 2 b_{n}) = a_{n} - b_{n} .$ ② それぞれ解く。 $a_{1} + b_{1} = 1, a_{1} - b_{1} = 1$ 。よって $a_{n} + b_{n} = 1 \cdot 3^{n - 1} = 3^{n - 1}, a_{n} - b_{n} = 1.$ ③ 復元する。 和と差から $a_{n} = \frac{( a _{n} + b _{n} ) + ( a _{n} - b _{n} )}{2} = \frac{3 ^{n - 1} + 1}{2}, b_{n} = \frac{3 ^{n - 1} - 1}{2} .$ (検算: $a_{2} = \frac{3 + 1}{2} = 2 = 2 \cdot 1 + 0$ 、 $b_{2} = \frac{3 - 1}{2} = 1 = 1 + 0$ 。)

まとめ 連立漸化式は和と差を作ると等比数列に分離する。 $a + b$ は公比 $3$ 、 $a - b$ は一定。復元して $a_{n} = \frac{3 ^{n - 1} + 1}{2}, b_{n} = \frac{3 ^{n - 1} - 1}{2}$ 。漸化式(連立)と対称性の融合。

発展 — 一歩先へ。 差 $a_{n} - b_{n} = 1$ が一定なのは、行列 $(2112)$ が固有値 $1$ をもつから。固有値 $1$ の方向(ここでは差)は「保存量」になる。物理でも、時間発展の行列が固有値 $1$ をもつと保存則(エネルギーや運動量の保存)が生じる — 連立漸化式の保存量は、その数学的な原型である。

答

和 $a_{n} + b_{n}$ は公比 $3$ 、差 $a_{n} - b_{n}$ は公比 $1$ (一定)。 $a_{n} + b_{n} = 3^{n - 1}, a_{n} - b_{n} = 1$ から $a_{n} = \frac{3 ^{n - 1} + 1}{2}, b_{n} = \frac{3 ^{n - 1} - 1}{2}$ 。

別解

別解 — 行列の固有値で対角化する(得意な人向けの高い視点)。 漸化式は行列で

$(a_{n + 1} b_{n + 1}) = (2112) (a_{n} b_{n})$

と書ける。この行列の固有値は $det (2 - λ 1 1 2 - λ) = 0$ から $λ = 3, 1$ 。

固有ベクトルは、 $λ = 3$ に $(1, 1)$ 、 $λ = 1$ に $(1, - 1)$ 。つまり「和 $a_{n} + b_{n}$ 」は $3$ 倍ずつ( $λ = 3$ )、「差 $a_{n} - b_{n}$ 」は変わらず( $λ = 1$ )。

$a_{n} + b_{n} = 3^{n - 1}, a_{n} - b_{n} = 1 ⟹ a_{n} = \frac{3 ^{n - 1} + 1}{2}, b_{n} = \frac{3 ^{n - 1} - 1}{2} .$

「和と差で解く」(本解)の正体は、この行列の固有ベクトルが $(1, 1)$ と $(1, - 1)$ だったこと。連立漸化式を対角化の目で見ると、なぜ和と差がうまくいくのかが分かる。

ポイント

$2$ 式を足す・引くで和 $a + b$ ・差 $a - b$ の等比数列に分離。
$a + b = 3^{n - 1}$ (公比 $3$ )、 $a - b = 1$ (一定)。
復元して $a_{n} = \frac{3 ^{n - 1} + 1}{2}, b_{n} = \frac{3 ^{n - 1} - 1}{2}$ 。

よくある間違い

2式を足す・引くの操作をせず、片方を代入して1つの3項間漸化式にしようとして煩雑になる。
和 $a_{n} + b_{n}$ の初期値を誤る( $a_{1} + b_{1} = 1$ 、公比 $3$ で $3^{n - 1}$ )。
差 $a_{n} - b_{n}$ が一定( $= 1$ )であることを使わず、 $a_{n}, b_{n}$ を復元できない。