数学B / 漸化式と数学的帰納法

和と項の関係から比の畳み込みへ

最難関編和と一般項比の畳み込み

問題

数列 ${a_{n}}$ は $a_{1} = 1$ で、初項から第 $n$ 項までの和 $S_{n}$ が

$S_{n} = \frac{n + 2}{3} a_{n}$

を満たす。一般項 $a_{n}$ を求めよ。

ヒントを見る

和の条件はまず $S_{n} - S_{n - 1} = a_{n}$ で項だけの式に。出てきた漸化式は等差型でも等比型でもない — 隣どうしの「比」が $n$ の式になる形だ。比を $n = 2$ から順に掛け合わせると何が起きるか。

解答・解説

方針

S_n の関係式は S_n−S_{n−1}=a_n で漸化式に落とすのが定石。整理すると (n−1)a_n=(n+1)a_{n−1} という「比の形」の漸化式になり、a_n/a_{n−1}=(n+1)/(n−1) を掛け連ねる(畳み込む)と間が約分されて一般項が出る。

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $S_{n}$ と $a_{n}$ の混ざった条件は、 $S_{n} - S_{n - 1} = a_{n}$ ( $n \geq 2$ )で $S$ を消すのが第一手だ。

整理すると、係数に $n$ の入った漸化式 $(n - 1) a_{n} = (n + 1) a_{n - 1}$ が現れる。定数係数でないから特性方程式は使えない。

だが比の形 $\frac{a _{n}}{a _{n - 1}} = \frac{n + 1}{n - 1}$ に直せば、 $n = 2$ から順に掛け連ねて(畳み込んで)間が約分される。階差の「足し込み」の、掛け算版だ。

重要

S_{n}

の関係式は

S_{n} - S_{n - 1} = a_{n}

で項の式へ。

\frac{a _{n}}{a _{n - 1}} = f (n)

型は比を掛け連ねて畳む(分子と分母がずれて約分される)

① 漸化式に落とす。 $n \geq 2$ で

$a_{n} = S_{n} - S_{n - 1} = \frac{n + 2}{3} a_{n} - \frac{n + 1}{3} a_{n - 1}$

$⟺ 3 a_{n} = (n + 2) a_{n} - (n + 1) a_{n - 1} ⟺ (n - 1) a_{n} = (n + 1) a_{n - 1}$

② 比を畳み込む。 $a_{n - 1} \neq = 0$ (帰納的に正)として

$\frac{a _{n}}{a _{n - 1}} = \frac{n + 1}{n - 1}$

$n = 2, 3, \dots, n$ で掛け連ねると

$\frac{a _{n}}{a _{1}} = \frac{3}{1} \cdot \frac{4}{2} \cdot \frac{5}{3} \dots \frac{n + 1}{n - 1} = \frac{n ( n + 1 )}{1 \cdot 2}$

(分子の $3, 4, \dots, n - 1$ が分母と約分され、分子の末尾2つ $n, n + 1$ と分母の先頭2つ $1, 2$ だけが残る。)

③ 一般項と検算。 $a_{1} = 1$ より

$a_{n} = \frac{n ( n + 1 )}{2}$

( $n = 1$ でも $1$ で成立。)検算: $S_{n} = \sum \frac{k ( k + 1 )}{2} = \frac{n ( n + 1 ) ( n + 2 )}{6} = \frac{n + 2}{3} \cdot \frac{n ( n + 1 )}{2}$ ✓ たしかに条件を満たす。

まとめ: 「 $S$ を消す → 比の形 → 掛けて畳む」。係数に $n$ が入る漸化式では、差(階差)で畳むか比で畳むかの2択がまず頭に浮かぶべきで、両端に何が生き残るかを丁寧に数えるのが畳み込みの作法だ。

発展 — 一歩先へ。 漸化式 $(n - 1) a_{n} = (n + 1) a_{n - 1}$ の両辺を $n (n + 1) \times n (n - 1)$ 側で見ると、 $\frac{a _{n}}{n ( n + 1 )} = \frac{a _{n - 1}}{( n - 1 ) n}$ — つまり $\frac{a _{n}}{n ( n + 1 )}$ が保存量(どの $n$ でも同じ値 $\frac{1}{2}$ )になっている。畳み込みで求めた一般項の正体は、この保存量の発見と同じこと。「掛けて畳む」漸化式は、しばしば「何かで割ると一定」の形に言い換えられる。

答

$a_{n} = \frac{n ( n + 1 )}{2}$

別解

値を並べて予想し、帰納法で確定する(手を動かすルート)。 関係式から前へ前へと計算できる。 $S_{n - 1} + a_{n} = S_{n} = \frac{n + 2}{3} a_{n}$ を $a_{n}$ について解くと

$a_{n} = \frac{3 S _{n - 1}}{n - 1} (n \geq 2)$

$a_{1} = 1$ から順に: $a_{2} = \frac{3 \cdot 1}{1} = 3$ 、 $a_{3} = \frac{3 \cdot 4}{2} = 6$ 、 $a_{4} = \frac{3 \cdot 10}{3} = 10$ 。

$1, 3, 6, 10$ — 三角数だ。そこで $a_{n} = \frac{n ( n + 1 )}{2}$ と予想し、帰納法で確定する: $a_{k} = \frac{k ( k + 1 )}{2}$ が $k \leq n - 1$ で正しければ $S_{n - 1} = \frac{( n - 1 ) n ( n + 1 )}{6}$ で、

$a_{n} = \frac{3 S _{n - 1}}{n - 1} = \frac{3}{n - 1} \cdot \frac{( n - 1 ) n ( n + 1 )}{6} = \frac{n ( n + 1 )}{2}$

予想がそのまま再生産され、帰納が閉じる。

比の畳み込み(本解)は一般項を「導出」し、予想+帰納法は「言い当てて検証」する。どちらも答案として完全だが、値を数個計算して形を見る癖は、初手が見えないときの命綱になる。

ポイント

$S_{n} - S_{n - 1} = a_{n}$ で $(n - 1) a_{n} = (n + 1) a_{n - 1}$ 。
比 $\frac{n + 1}{n - 1}$ を掛け連ねて $\frac{n ( n + 1 )}{2}$ 。
検算: $S_{n} = \frac{n ( n + 1 ) ( n + 2 )}{6} = \frac{n + 2}{3} a_{n}$ ✓。

よくある間違い

$S_{n} - S_{n - 1} = a_{n}$ を $n = 1$ にも使う( $S_{0}$ は存在しない。 $n \geq 2$ で使い、 $n = 1$ は初項で別に確認)。
畳み込みの生き残りを数え違える。分母に残るのは先頭の $1, 2$ 、分子に残るのは末尾の $n, n + 1$ 。
$a_{n - 1} \neq = 0$ の断りなしに比をとる(全項正が帰納的に言えることを一言)。