等比型(分数の公比)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $a_{n+1}=\frac{1}{2}{a}_n$ — 毎回、半分になる。

公比が $\frac{1}{2}$ の等比数列だ。 公比が分数でも、型はまったく同じである。

書き出してみよう。

$$8,4,2,1,\frac{1}{2},\frac{1}{4},\dots$$

減っていくが、$0$ にはならない。 半分にし続けても、いつまでも正の数が残る。

一般項は公式どおり。

$$a_n=8\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^{n-1}$$

これで答えは出ている。 だが、$8=2^3$、$\frac{1}{2}=2^{-1}$ と、底を $2$ にそろえると、指数の足し算だけできれいに整理できる。

「底をそろえて、指数で勝負する。」 指数計算の基本の作法だ。

① 一般項を書く。 初項 $8$、公比 $\frac{1}{2}$。

$$a_n=8\cdot (\frac{1}{2}{)}^{n-1}$$

② 指数を $2$ でそろえる。 $8=2^3$、${\left(\frac{1}{2}\right)}^{n-1}=2^{-(n-1)}$。

$$a_n=2^3\cdot 2^{-(n-1)}=2^{3-(n-1)}=2^{4-n}$$

まとめ:公比が分数でも手順は同じ。$8\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^{n-1}$ のままでもよいが、$2$ の累乗にそろえると $2^{4-n}$ とすっきりする。

発展 — 一歩先へ。 「半分ずつ減る」— この数列は、自然界のいたるところに現れる。

放射性物質の崩壊。

放射性炭素 ${}^{14}\mathrm{C}$ は、$5730$ 年ごとに量が半分になる。この $5730$ 年を半減期という。

$$a_{n+1}=\frac{1}{2}{a}_n(n\text{ は半減期の回数})$$

この問題と、まったく同じ漸化式だ。

ここから、考古学の道具が生まれる。

生きている生物は、大気中の ${}^{14}\mathrm{C}$ を取り込み続けるので、体内の濃度は一定に保たれる。死ぬと取り込みが止まり、あとは半分ずつ減っていくだけ。

だから、残っている ${}^{14}\mathrm{C}$ の量を測れば、死んでからの時間が分かる。

• 残り $\frac{1}{2}$ → $5730$ 年前
• 残り $\frac{1}{4}$ → $11460$ 年前
• 残り $\frac{1}{8}$ → $17190$ 年前

残り $\frac{1}{2^n}$ なら、$5730n$ 年前だ。

放射性炭素年代測定と呼ばれるこの方法で、遺跡の年代が特定されてきた。ラスコー洞窟の壁画も、ツタンカーメンの棺も、この計算で年代が決まっている。

なぜ「半分」が基準なのか。

$0$ にならないからだ。指数関数的な減少は、決して $0$ に到達しない。 だから「全部なくなるまでの時間」は定義できない。

代わりに「半分になるまでの時間」を使う。 そしてこの時間は、いつ測り始めても同じである($8\to 4$ も $4\to 2$ も、同じ $1$ ステップ)。

この"いつでも同じ"という性質が、時計として使える理由だ。

同じ構造は、薬にもある。 血液中の薬の濃度も、半減期に従って減る。「$1$ 日 $3$ 回」という服用間隔は、この計算から決まっている。

$a_{n+1}=\frac{1}{2}{a}_n$。 この $1$ 行が、$1$ 万年前の炭を「時計」に変えた。

別解

「指数の部分だけ」を数列として見る。

数列を、すべて $2$ の累乗で書き直そう。

$$8,4,2,1,\frac{1}{2},\frac{1}{4},\dots$$

$$2^3,2^2,2^1,2^0,2^{-1},2^{-2},\dots$$

指数だけを取り出して、並べる。

$$3,2,1,0,-1,-2,\dots$$

$1$ ずつ減る、ただの等差数列だ!

指数の数列を $e_n$ とおく。 初項 $3$、公差 $-1$ だから

$$e_n=3+(n-1)\times (-1)=4-n$$

もとに戻す。

$$a_n=2^{e_n}=2^{4-n}$$

本解と同じ答え ✓

確かめる。 $n=1$ で $2^3=8$ ✓、$n=4$ で $2^0=1$ ✓、$n=5$ で $2^{-1}=\frac{1}{2}$ ✓

なぜ、こんなにうまくいくのか。

掛け算は、指数の世界では足し算になる。

$$2^p\times 2^q=2^{p+q}$$

だから

$$a_{n+1}=\frac{1}{2}{a}_n⟹e_{n+1}=e_n-1$$

「$\frac{1}{2}$ 倍する」が、「指数から $1$ 引く」に翻訳された。

$$\boxed{\text{等比数列を指数で見ると、等差数列になる}}$$

これは、対数の考え方そのものである。

$$e_n={\log }_2{a}_n$$

対数をとると、掛け算が足し算に、等比が等差に化ける。

この翻訳の威力。

「$\frac{1}{2}$ を $n-1$ 回掛ける」という掛け算の計算が、「$3$ から $1$ ずつ引く」という足し算の計算になる。間違いようがない。

指数計算に自信がないときほど、この見方が助けになる。 指数だけを見れば、そこにあるのは中学生でも分かる等差数列だ。

掛け算の世界と、足し算の世界。 対数は、その $2$ つをつなぐ翻訳機なのだ。