数学B / 漸化式と数学的帰納法

分数型の漸化式(逆数変換)

★★ 標準漸化式分数型

問題

$a_{1} = 1$ 、 $a_{n + 1} = \frac{a _{n}}{a _{n} + 2}$ で定まる数列 ${a_{n}}$ の一般項を求めよ。

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分子が $a_{n}$ だけの分数型は、両辺の逆数をとると景色が変わる。逆数を新しい数列とみなしたとき、どの型の漸化式になるかを見きわめよう。

解答・解説

方針

分数型は逆数をとると簡単になることが多い。両辺の逆数をとり、 $b_{n} = \frac{1}{a _{n}}$ とおくと、 $b_{n}$ の漸化式(今回は特性方程式型)になる。

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $a_{n + 1} = \frac{a _{n}}{a _{n} + 2}$ — 分数の形のままでは、等差・等比のどの型にも見えない。

分数型の定跡は逆数をとること。分子が $a_{n}$ 単独(定数項なし)のときは特に効く。

$\frac{1}{a _{n + 1}} = \frac{a _{n} + 2}{a _{n}} = 1 + \frac{2}{a _{n}}$

$b_{n} = \frac{1}{a _{n}}$ とおけば $b_{n + 1} = 2 b_{n} + 1$ — 見慣れた特性方程式型に変身する。「扱いにくい形は、変換して既知の型に持ち込む」の代表例だ。

重要分数型

a_{n + 1} = \frac{a _{n}}{p a _{n} + q}

は、逆数

b_{n} = \frac{1}{a _{n}}

をとると簡単な漸化式になる

① 両辺の逆数をとる。

$\frac{1}{a _{n + 1}} = \frac{a _{n} + 2}{a _{n}} = 1 + \frac{2}{a _{n}}$

② 置きかえる。 $b_{n} = \frac{1}{a _{n}}$ とおくと

$b_{n + 1} = 2 b_{n} + 1$

これは特性方程式型。初項 $b_{1} = \frac{1}{a _{1}} = 1$ 。

③ 特性方程式で解く。 $α = 2 α + 1$ より $α = - 1$ 。 $b_{n + 1} + 1 = 2 (b_{n} + 1)$ 。 $b_{n} + 1$ は初項 $2$ 、公比 $2$ 。

$b_{n} + 1 = 2 \cdot 2^{n - 1} = 2^{n} \Rightarrow b_{n} = 2^{n} - 1$

④ $a_{n}$ に戻す。 $a_{n} = \frac{1}{b _{n}}$ 。

$a_{n} = \frac{1}{2 ^{n} - 1}$

まとめ:分数型は「逆数をとる」が最初の一手。 $\frac{1}{a _{n + 1}}$ を計算すると $b_{n} = \frac{1}{a _{n}}$ のやさしい漸化式になる。あとは特性方程式型として処理し、最後に逆数で $a_{n}$ に戻す。

発展 — 一歩先へ。 分母の列 $1, 3, 7, 15, \dots$ ( $2^{n} - 1$ )はメルセンヌ数と呼ばれ、素数研究(巨大素数の探索は今もこの形で行われている)やハノイの塔の最少手数として、あちこちに顔を出す。

分子にも定数が付く一般の分数型 $a_{n + 1} = \frac{p a _{n} + q}{r a _{n} + s}$ では、単純な逆数では割れない。そこでは不動点 $α$ を求めて $\frac{1}{a _{n} - α}$ や $\frac{a _{n} - α}{a _{n} - β}$ を新数列にとる — 「変換して既知の型へ」という今回の設計思想が、そのまま上位互換になっていく。

答

$a_{n} = \frac{1}{2 ^{n} - 1}$

別解

「逆数をとれ」の一言がなぜ出てくるのか。まず数列を分数のまま書き出してみる。

$a_{1} = 1, a_{2} = \frac{1}{3}, a_{3} = \frac{1/3}{1/3 + 2} = \frac{1}{7}, a_{4} = \frac{1}{15}, \dots$

分子はずっと $1$ 、分母は $1, 3, 7, 15$ 。この分母の列、 $1$ 足すと $2, 4, 8, 16$ — 倍々だ。つまり分母は $2^{n} - 1$ で、

$a_{n} = \frac{1}{2 ^{n} - 1}$

と予想できる。

「分子が $1$ のまま、分母だけが規則的に育つ」— この観察こそが、逆数変換の動機だ。分母 $= \frac{1}{a _{n}}$ を主役にすれば、それは $b_{n + 1} = 2 b_{n} + 1$ という素直な数列(だから $+ 1$ で倍々になった)。実験で見えた法則を、変換が証明に格上げしてくれる。

ポイント

分数型は逆数 $b_{n} = \frac{1}{a _{n}}$ で変換。
$b_{n}$ の漸化式を解き、逆数で $a_{n}$ に戻す。

よくある間違い

逆数をとる前に $a_{n} \neq = 0$ の確認を飛ばす(全項正なので逆数がとれる、の一言を書く)
$\frac{a _{n} + 2}{a _{n}}$ の約分を $1 + \frac{2}{a _{n}}$ でなく $\frac{2}{a _{n}}$ や $1 + 2 a_{n}$ と誤る
最後に $b_{n}$ から $a_{n}$ に戻すのを忘れて $b_{n} = 2^{n} - 1$ を答えにする