特性方程式型(公比が負)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 型は基本の特性方程式と同じ。$\alpha =-\alpha +2$ から $\alpha =1$ で

$$a_{n+1}-1=-(a_n-1)$$

$\{a_n-1\}$ は公比 $-1$ の等比数列だ。

公比が負 — ここが今回の見どころ。$(-1{)}^{n-1}$ は $+1,-1,+1,\dots$ と符号を交互に変えるから、数列は振動する。計算は基本型と同じでも、答えの表情がまったく違うことを味わおう。

① 特性方程式を解く。 $\alpha =-\alpha +2$ より $2\alpha =2$、$\alpha =1$。

② $\alpha$ を引いて等比の形に。

$$a_{n+1}-1=-(a_n-1)$$

③ 置きかえる。 $b_n=a_n-1$ は公比 $-1$ の等比数列。初項 $b_1=a_1-1=-1$。

$$b_n=(-1)\cdot (-1{)}^{n-1}=(-1{)}^n$$

④ $a_n$ に戻す。

$$a_n=1+(-1{)}^n$$

これは $n$ が偶数のとき $2$、奇数のとき $0$($0,2,0,2,\dots$ と交互)。

まとめ:公比が $-1$ だと、数列は $2$ 値を交互にとる(振動する)。特性方程式の手順は同じで、$b_n=a_n-1$ が $(-1{)}^n$ になる。$(-1{)}^n$ の符号を正しく追うのがポイントだ。

発展 — 一歩先へ。 公比 $r$ の値で、ずれ $a_n-\alpha$ の運命は $4$ 通りに分かれる。$r>1$ で発散、$0<r<1$ で不動点へ収束、$-1<r<0$ で振動しながら収束、$r\leqq -1$ で振動が続くか拡大する。今回の $r=-1$ は「振動が減衰も拡大もしない」境界の住人だ。

$(-1{)}^n$ で偶奇を書き分ける技は、場合分けを $1$ 本の式に圧縮する常套手段。$\cos n\pi =(-1{)}^n$ という三角関数との接点もあり、振動を式で扱う場面(数IIIの極限、フーリエの世界)で繰り返し登場する。

別解

まず書き出してみると、この数列の正体は一目瞭然だ。

$$a_1=0,a_2=2,a_3=0,a_4=2,\dots$$

$0$ と $2$ を交互に繰り返すだけ。「奇数番目が $0$、偶数番目が $2$」— これが答えの中身のすべてで、$a_n=1+(-1{)}^n$ はそれを $1$ 本の式に畳んだ表現にすぎない($n$ が奇数なら $1-1=0$、偶数なら $1+1=2$)。

見どころは振動の中心だ。$0$ と $2$ の真ん中は $1$ — 特性方程式の解 $\alpha =1$ と一致する。不動点 $1$ を中心に、幅 $1$ で行ったり来たりしている($|a_n-1|=1$ がずっと保たれる)。

公比が正の基本型では「不動点から一方向に離れる(または近づく)」、公比が負なら「不動点をはさんで交互に飛び移る」。特性方程式の解は、どちらの場合も運動の中心を教えている。