数学B / 漸化式と数学的帰納法

指数型(3ₐₙ + 4ⁿ)

★★ 標準漸化式指数型

問題

$a_{1} = 1$ 、 $a_{n + 1} = 3 a_{n} + 4^{n}$ で定まる数列 ${a_{n}}$ の一般項を求めよ。

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右辺に $4^{n}$ が混ざる型。一般項を $3$ の累乗と $4$ の累乗の組み合わせと予想して、係数を決める方針が速い。

解答・解説

方針

$a_{n + 1} = 3 a_{n} + 4^{n}$ の解は $a_{n} = A \cdot 3^{n} + B \cdot 4^{n}$ の形。 $4^{n}$ の部分(特殊解)を先に決め、残りの $A \cdot 3^{n}$ を初項条件で決める。

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $a_{n + 1} = 3 a_{n} + 4^{n}$ — 「 $3$ 倍の成長」に「 $4^{n}$ の注入」が加わる型。基本の指数型と同じ発想で解ける。

解の形を先読みする。 $3$ 倍からは $3^{n}$ の系統、 $4^{n}$ からは $4^{n}$ の系統。

$a_{n} = A \cdot 3^{n} + B \cdot 4^{n}$

を予想し、まず $B$ を漸化式との整合( $4 B = 3 B + 1$ )で、次に $A$ を初項 $a_{1} = 1$ で決める。係数と底が違う( $3 \neq = 4$ )ことを確認してから進むのが作法だ。

重要

a_{n + 1} = p a_{n} + q^{n}

(

p \neq = q

)の一般項は

a_{n} = A \cdot p^{n} + B \cdot q^{n}

① 解の形を予想して代入する。 $a_{n} = A \cdot 3^{n} + B \cdot 4^{n}$ とおき、漸化式に入れる。

$A \cdot 3^{n + 1} + B \cdot 4^{n + 1} = 3 (A \cdot 3^{n} + B \cdot 4^{n}) + 4^{n}$

② $4^{n}$ の係数を比べる。 $3^{n}$ の項は自動的に一致するので、 $4^{n}$ の項だけ見る。左辺 $4 B \cdot 4^{n}$ 、右辺 $(3 B + 1) 4^{n}$ 。

$4 B = 3 B + 1 \Rightarrow B = 1$

③ 初項で $A$ を決める。 $a_{1} = 1$ 。 $a_{n} = A \cdot 3^{n} + 4^{n}$ に $n = 1$ 。

$3 A + 4 = 1 \Rightarrow A = - 1$

④ 一般項を書く。

$a_{n} = - 3^{n} + 4^{n} = 4^{n} - 3^{n}$

まとめ: $p a_{n} + q^{n}$ 型は「 $a_{n} = A p^{n} + B q^{n}$ とおいて係数決定」。 $q^{n}$ の係数から $B$ 、初項から $A$ 。先の指数型の $2 a_{n} + 3^{n}$ と同じ手順で、数字が変わっただけだ。

発展 — 一歩先へ。 答え $4^{n} - 3^{n}$ を見ると、注入される $4^{n}$ の系統が正、もとの成長 $3^{n}$ の系統が負の係数を持つ。初項 $a_{1} = 1 = 4 - 3$ がちょうど両系統の差で書ける配置だった、ということだ。初項が変われば $A$ だけが動き、 $B = 1$ (特殊解)は不変 — 「特殊解は方程式が決め、初項は等比部分が吸収する」という役割分担がある。

この分担は、基本の指数型・ $1$ 次式型・そして大学の微分方程式まで共通の設計。「一般解 $=$ 斉次解( $A \cdot p^{n}$ ) $+$ 特殊解」という言葉で再会することになる。

答

$a_{n} = 4^{n} - 3^{n}$

別解

今度は成長率の $3^{n + 1}$ で割る変換を試そう(基本の指数型では足される $3^{n}$ の側で割った — 割る相手を変えると景色が変わる)。

$\frac{a _{n + 1}}{3 ^{n + 1}} = \frac{a _{n}}{3 ^{n}} + \frac{1}{3} (\frac{4}{3})^{n}$

$b_{n} = \frac{a _{n}}{3 ^{n}}$ とおくと、 $b_{n + 1} - b_{n} = \frac{1}{3} (\frac{4}{3})^{n}$ — 階差型に化けた。階差が等比数列だから、積み上げは等比の和で

$b_{n} = b_{1} + k = 1 \sum n - 1 \frac{1}{3} (\frac{4}{3})^{k} = \frac{1}{3} + \frac{4}{9} \cdot \frac{( 4/3 ) ^{n - 1} - 1}{4/3 - 1} = (\frac{4}{3})^{n} - 1$

よって $a_{n} = 3^{n} b_{n} = 4^{n} - 3^{n}$ 。

まとめると、指数型 $a_{n + 1} = p a_{n} + q^{n}$ は「 $q^{n + 1}$ で割れば特性方程式型」「 $p^{n + 1}$ で割れば階差型」— どちらの既知の型にも運べる。 $2$ つの変換を知っていれば、この型で詰むことはない。

ポイント

$a_{n} = A \cdot p^{n} + B \cdot q^{n}$ とおく。
$q^{n}$ の係数比較で $B$ 、初項で $A$ 。

よくある間違い

$B$ を決める等式を $3 B = 4 B + 1$ と左右取り違えて $B = - 1$ とする(検算 $n = 1$ : $a_{2} = 3 + 4 = 7 = 4^{2} - 3^{2}$ で確かめる)
$A \cdot 3^{n}$ の $A$ を初項で決めるとき $B \cdot 4^{1}$ の寄与を引き忘れる
等比の和の公式で項数( $n - 1$ 項)と初項を取り違える(階差ルート)