数学B / 漸化式と数学的帰納法

連立漸化式

★★★★ 難関連立漸化式和と差

問題

$a_{1} = 1$ 、 $b_{1} = 0$ 、 ${a_{n + 1} = a_{n} + 2 b_{n} b_{n + 1} = 2 a_{n} + b_{n}$ で定まる数列 ${a_{n}}$ 、 ${b_{n}}$ の一般項を求めよ。

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$2$ 式を足すと $a_{n} + b_{n}$ の漸化式、引くと $a_{n} - b_{n}$ の漸化式になり、どちらも等比数列。和と差を求めてから $a_{n}, b_{n}$ を復元する。

解答・解説

方針

$2$ 式の和 $a_{n + 1} + b_{n + 1} = 3 (a_{n} + b_{n})$ と差 $a_{n + 1} - b_{n + 1} = - (a_{n} - b_{n})$ を作る。和は公比 $3$ 、差は公比 $- 1$ の等比数列になるので、それぞれ解いて連立で $a_{n}, b_{n}$ を出す。

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $a_{n + 1} = a_{n} + 2 b_{n}$ 、 $b_{n + 1} = 2 a_{n} + b_{n}$ 。 $a$ と $b$ を入れ替えても形が変わらない、対称な連立だ。

対称な連立漸化式は「和 $a_{n} + b_{n}$ 」と「差 $a_{n} - b_{n}$ 」を作ると、互いの絡みがほどける。

実際、 $2$ 式を足すと $a_{n} + b_{n}$ だけの式、引くと $a_{n} - b_{n}$ だけの式になり、どちらも単独の等比数列。

和と差をそれぞれ解いてから、 $a_{n}, b_{n}$ を復元する。

重要対称な連立漸化式は、和

a_{n} + b_{n}

と差

a_{n} - b_{n}

を作ると、それぞれ単独の(等比)数列になる

① 和と差を作る。 $2$ 式を足すと

$a_{n + 1} + b_{n + 1} = 3 a_{n} + 3 b_{n} = 3 (a_{n} + b_{n})$

$2$ 式を引くと

$a_{n + 1} - b_{n + 1} = - a_{n} + b_{n} = - (a_{n} - b_{n})$

② それぞれ等比数列として解く。 $s_{n} = a_{n} + b_{n}$ は初項 $s_{1} = 1$ 、公比 $3$ で $s_{n} = 3^{n - 1}$ 。 $d_{n} = a_{n} - b_{n}$ は初項 $d_{1} = 1$ 、公比 $- 1$ で $d_{n} = (- 1)^{n - 1}$ 。

③ 復元する。

$a_{n} = \frac{s _{n} + d _{n}}{2} = \frac{3 ^{n - 1} + ( - 1 ) ^{n - 1}}{2}, b_{n} = \frac{s _{n} - d _{n}}{2} = \frac{3 ^{n - 1} - ( - 1 ) ^{n - 1}}{2}$

(検算: $a_{1} = \frac{1 + 1}{2} = 1$ 、 $b_{1} = \frac{1 - 1}{2} = 0$ 。)

まとめ:対称な連立漸化式は「和と差で単独化」。和は公比 $3$ 、差は公比 $- 1$ の等比になり、 $a_{n} = \frac{s _{n} + d _{n}}{2}$ 、 $b_{n} = \frac{s _{n} - d _{n}}{2}$ で復元。和・差が両方きれいに等比になるのが対称形の強み。

発展 — 一歩先へ。 この連立は $(b _{n + 1} a _{n + 1}) = (1221) (b _{n} a _{n})$ と行列で書ける。

行列 $(1221)$ の固有値は $3$ と $- 1$ 、固有ベクトルは $(1, 1)$ と $(1, - 1)$ 。この $(1, 1)$ 方向が「和」、 $(1, - 1)$ 方向が「差」にあたる。

「和と差でほどける」のは偶然ではなく、固有ベクトルの方向を見ていたわけだ。連立漸化式は行列の固有値・固有ベクトルで一般項が決まる。

答

$a_{n} = \frac{3 ^{n - 1} + ( - 1 ) ^{n - 1}}{2}$ 、 $b_{n} = \frac{3 ^{n - 1} - ( - 1 ) ^{n - 1}}{2}$

別解

別解 — $1$ 文字消して $3$ 項間漸化式にする(得意な人向けの視点)。 和と差を思いつかなくても、 $b_{n}$ を消せば見慣れた $3$ 項間漸化式になる。

第 $1$ 式から $b_{n} = \frac{a _{n + 1} - a _{n}}{2}$ 。これを第 $2$ 式 $b_{n + 1} = 2 a_{n} + b_{n}$ に代入する。

$\frac{a _{n + 2} - a _{n + 1}}{2} = 2 a_{n} + \frac{a _{n + 1} - a _{n}}{2}$ を整理して

$a_{n + 2} = 2 a_{n + 1} + 3 a_{n} .$

特性方程式 $x^{2} = 2 x + 3$ 、すなわち $(x - 3) (x + 1) = 0$ より $x = 3, - 1$ 。よって $a_{n} = A \cdot 3^{n - 1} + B \cdot (- 1)^{n - 1}$ 。

$a_{1} = 1$ 、 $a_{2} = a_{1} + 2 b_{1} = 1$ から $A + B = 1$ 、 $3 A - B = 1$ 。これを解くと $A = B = \frac{1}{2}$ 、 $a_{n} = \frac{3 ^{n - 1} + ( - 1 ) ^{n - 1}}{2}$ 。 $b_{n} = \frac{a _{n + 1} - a _{n}}{2}$ で $b_{n}$ も出る。

和と差でほどく本解と同じ。 $1$ 文字消去は、対称でない連立にも使える汎用の手だ。

ポイント

和 $s_{n} = 3^{n - 1}$ 、差 $d_{n} = (- 1)^{n - 1}$ 。
$a_{n} = \frac{s _{n} + d _{n}}{2}$ 、 $b_{n} = \frac{s _{n} - d _{n}}{2}$ 。

よくある間違い

差の漸化式 $a_{n + 1} - b_{n + 1} = - (a_{n} - b_{n})$ の符号を誤り、公比を $1$ としてしまう。
和 $s_{n}$ ・差 $d_{n}$ から $a_{n}, b_{n}$ を復元するとき、 $2$ で割るのを忘れる。
$s_{n}, d_{n}$ の初項を $s_{1} = 1, d_{1} = 1$ と正しく取れず、 $b_{1} = 0$ の反映を誤る。