数学B / 漸化式と数学的帰納法

2倍角が生む周期3の数列

最難関編数学的帰納法置き換えの発見

問題

数列 ${a_{n}}$ を $a_{1} = sin^{2} \frac{π}{7}$ 、 $a_{n + 1} = 4 a_{n} (1 - a_{n})$ で定める。

(1) すべての自然数 $n$ について $a_{n} = sin^{2} \frac{2 ^{n - 1} π}{7}$ が成り立つことを、数学的帰納法で示せ。

(2) すべての自然数 $n$ について $a_{n + 3} = a_{n}$ が成り立つことを示せ。

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初項の形 $sin^{2}$ が最大のヒント — $a = sin^{2} φ$ を漸化式に入れると $4 a (1 - a)$ は何になるか。角が毎回何倍になるかが見えれば、(2)は「7を法とした角の巡回」の話になる。

解答・解説

方針

漸化式 4a(1−a) は、a=sin²φ とおくと 4sin²φcos²φ=sin²2φ — 「2倍角の公式の変装」だと見抜くのが核心。(1)は帰納法でこの置き換えを固定し、(2)は角が 2倍ずつ進むこと(π/7 → 2π/7 → 4π/7 → 8π/7)と sin²(8π/7)=sin²(π/7) で一周する。

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 漸化式 $a_{n + 1} = 4 a_{n} (1 - a_{n})$ は、多項式のまま追うと2乗のたびに次数が倍増して破綻する。

手がかりは初項の形 $sin^{2} \frac{π}{7}$ だ。 $a = sin^{2} φ$ とおいて漸化式に入れると

$4 a (1 - a) = 4 sin^{2} φ cos^{2} φ = (2 sin φ cos φ)^{2} = sin^{2} 2 φ$

この漸化式は倍角の公式の変装で、角を2倍にする操作だった。すると $a_{n} = sin^{2} (2^{n - 1} \cdot \frac{π}{7})$ と当たりがつき、(1)は帰納法で固定できる。

(2)は角の列 $\frac{π}{7}, \frac{2 π}{7}, \frac{4 π}{7}, \frac{8 π}{7}, \dots$ が、 $sin^{2}$ の世界では3歩で一周すること( $8 \equiv 1$ が鍵)を見ればよい。

公式倍角:

sin^{2} 2 φ = 4 sin^{2} φ (1 - sin^{2} φ)

。

sin (π + θ) = - sin θ

より

sin^{2} (π + θ) = sin^{2} θ

① (1) を帰納法で示す。 $n = 1$ : $a_{1} = sin^{2} \frac{2 ^{0} π}{7}$ ✓。 $n = k$ で $a_{k} = sin^{2} \frac{2 ^{k - 1} π}{7}$ と仮定すると、 $φ = \frac{2 ^{k - 1} π}{7}$ として

$a_{k + 1} = 4 sin^{2} φ (1 - sin^{2} φ) = sin^{2} 2 φ = sin^{2} \frac{2 ^{k} π}{7}$

よって $n = k + 1$ でも成り立ち、すべての $n$ で成立する。

② 角の一周((2)の鍵)。 $\frac{8 π}{7} = π + \frac{π}{7}$ だから

$sin^{2} \frac{8 π}{7} = (- sin \frac{π}{7})^{2} = sin^{2} \frac{π}{7}$

③ (2) を示す。 (1)より

$a_{n + 3} = sin^{2} \frac{2 ^{n + 2} π}{7} = sin^{2} (2^{n - 1} \cdot \frac{8 π}{7})$

ここで $2^{n - 1} \cdot \frac{8 π}{7} = 2^{n - 1} π + \frac{2 ^{n - 1} π}{7}$ で、 $2^{n - 1} π$ は $π$ の整数倍だから $sin^{2}$ の値を変えない。よって

$a_{n + 3} = sin^{2} \frac{2 ^{n - 1} π}{7} = a_{n}$

すなわち数列は周期3で循環する(実際 $a_{1}, a_{2}, a_{3}$ は相異なるので、周期はちょうど3)。

まとめ: 「初項の形が置き換えを指名する」— $sin^{2}$ で始まる2次の漸化式は倍角の変装、という翻訳が全て。倍角=角の2倍化、周期性= $2^{3} = 8 \equiv 1$ (mod 7 の世界)という2つの顔が、ひとつの数列の上で重なっている。

発展 — 一歩先へ。 巡回する3つの値 $sin^{2} \frac{π}{7}, sin^{2} \frac{2 π}{7}, sin^{2} \frac{4 π}{7}$ の和はちょうど $\frac{7}{4}$ になる( $cos \frac{2 π}{7} + cos \frac{4 π}{7} + cos \frac{8 π}{7} = - \frac{1}{2}$ から)。また、写像 $x \mapsto 4 x (1 - x)$ はロジスティック写像と呼ばれ、ほんの少し初期値をずらすと軌道が指数的に離れていく「カオス」の代表例。 $sin^{2}$ の置き換えは、その混沌の中に潜む規則軌道(周期3)を釣り上げる竿になっている。

答

(1) 帰納法+倍角の公式(証明) (2) $sin^{2} \frac{8 π}{7} = sin^{2} \frac{π}{7}$ から周期3(証明)

別解

指数を $7$ で割った余りで追う(巡回の正体)。 角の分子だけを見ると、列は $1, 2, 4, 8, 16, \dots = 2^{n - 1}$ と倍々に進む。ここで $sin^{2} \frac{mπ}{7}$ の値は、 $m$ を $7$ で割った余りだけで決まる( $m$ が $7$ 増えると角は $π$ 増え、 $sin^{2} (π + θ) = sin^{2} θ$ )。

角は毎回2倍: π/7 → 2π/7 → 4π/7 → 8π/7。8π/7 は π/7 の対蹠点(π+π/7)なので sin² は同じ値に戻る=3歩で一周

だから見るべきは $2^{n - 1}$ を $7$ で割った余りの列:

$1, 2, 4, 8 \equiv 1, 2, 4, 1, \dots (mod 7)$

$2^{3} = 8 \equiv 1 (mod 7)$ だから、余りは $1 \to 2 \to 4 \to 1$ の3周期で巡回する。これがそのまま $a_{n + 3} = a_{n}$ だ。

(2)の「周期3」の正体は、 $7$ を法とした $2$ の位数が $3$ だという整数の事実。三角関数の顔をした問題の心臓部に、合同式が住んでいる。整数の単元で学ぶ「 $2^{k}$ の余りの周期」と、まったく同じものが動いている。

ポイント

$a = sin^{2} φ$ で $4 a (1 - a) = sin^{2} 2 φ$ (倍角の変装)。
帰納法で $a_{n} = sin^{2} \frac{2 ^{n - 1} π}{7}$ 。
$sin^{2} \frac{8 π}{7} = sin^{2} \frac{π}{7}$ から周期3。

よくある間違い

(2)を数値の近似で「ほぼ同じ」と述べる。 $sin^{2} \frac{8 π}{7} = sin^{2} \frac{π}{7}$ は $\frac{8 π}{7} = π + \frac{π}{7}$ と $sin (π + θ) = - sin θ$ による厳密な等式。
帰納法の段で、角の対応( $φ = \frac{2 ^{k - 1} π}{7}$ が $2 φ = \frac{2 ^{k} π}{7}$ になる)を書かずに式だけ進める。
「周期はちょうど3」と主張するのに $a_{1}, a_{2}, a_{3}$ が相異なることの確認を落とす(問題の要求が「 $a_{n + 3} = a_{n}$ 」だけなら不要だが、「周期3」と言い切るなら要る)。