数学B / 漸化式と数学的帰納法

3項間漸化式

★★★ 応用漸化式3項間

問題

$a_{1} = 0$ 、 $a_{2} = 1$ 、 $a_{n + 2} = 5 a_{n + 1} - 6 a_{n}$ で定まる数列 ${a_{n}}$ の一般項を求めよ。

ヒントを見る

$3$ 項間の型。『 $a_{n + 1} - α a_{n}$ が等比数列』の形を $2$ 通り作れれば、 $2$ 式の引き算で $a_{n}$ だけを残せる。 $α$ の候補は $2$ 次方程式から出てくる。

解答・解説

方針

$3$ 項間漸化式は特性方程式 $x^{2} = 5 x - 6$ の $2$ 解 $α, β$ を使う。 ${a_{n + 1} - α a_{n}}$ と ${a_{n + 1} - β a_{n}}$ がそれぞれ等比数列になり、 $2$ 式から $a_{n}$ を求める。

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $3$ 項間漸化式は、うまい $α$ を選ぶと $a_{n + 1} - α a_{n}$ が等比数列になる。

その $α$ を教えてくれるのが特性方程式 $x^{2} = 5 x - 6$ 。これを解いて $2$ つの解を取り出す。

解が $2$ つ出れば、 ${a_{n + 1} - 2 a_{n}}$ と ${a_{n + 1} - 3 a_{n}}$ という別々の等比数列が $2$ 本できる。

その $2$ 本を引き算すると $a_{n + 1}$ が消え、 $a_{n}$ だけが残る。ここまで見通すのが第一歩だ。

重要

3

項間

a_{n + 2} = p a_{n + 1} + q a_{n}

は、特性方程式

x^{2} = p x + q

の

2

解

α, β

を使う

① 特性方程式を解く。 $x^{2} = 5 x - 6$ より $x^{2} - 5 x + 6 = (x - 2) (x - 3) = 0$ 、 $x = 2, 3$ 。

② $2$ つの等比数列を作る。 一般に $a_{n + 2} - α a_{n + 1} = β (a_{n + 1} - α a_{n})$ となる。

$α = 2$ で: $a_{n + 1} - 2 a_{n}$ は公比 $3$ 。初項 $a_{2} - 2 a_{1} = 1$ 。よって $a_{n + 1} - 2 a_{n} = 3^{n - 1}$ 。
$α = 3$ で: $a_{n + 1} - 3 a_{n}$ は公比 $2$ 。初項 $a_{2} - 3 a_{1} = 1$ 。よって $a_{n + 1} - 3 a_{n} = 2^{n - 1}$ 。

③ $2$ 式を引いて $a_{n}$ を出す。 上の式から下の式を引く。

$(a_{n + 1} - 2 a_{n}) - (a_{n + 1} - 3 a_{n}) = 3^{n - 1} - 2^{n - 1}$

$a_{n} = 3^{n - 1} - 2^{n - 1}$

まとめ: $3$ 項間漸化式は「特性方程式の $2$ 解で、 $2$ 本の等比数列を作る」。 $a_{n + 1} - α a_{n}$ の公比はもう一方の解 $β$ 。 $2$ 本の式を引くと $a_{n + 1}$ が消えて $a_{n}$ が出る。

発展 — 一歩先へ。 得られた $a_{n} = 3^{n - 1} - 2^{n - 1}$ を眺めると、 $2$ つの累乗のうち大きい底 $3$ の側が主役だ。

$a_{n} = 3^{n - 1} (1 - (\frac{2}{3})^{n - 1})$ と書けば、 $n$ が大きいほど $(\frac{2}{3})^{n - 1}$ は $0$ に近づく。だから $a_{n}$ はほぼ $3^{n - 1}$ で、隣どうしの比 $\frac{a _{n + 1}}{a _{n}}$ は $3$ に近づく。

一般に $3$ 項間漸化式では、特性方程式の解のうち絶対値が大きいほうが長期のふるまいを支配する。 $2$ 解のうち大きい根を見れば、増え方の速さがわかる。

答

$a_{n} = 3^{n - 1} - 2^{n - 1}$

別解

別解 — 一般項の形を先においてしまう(得意な人向けの視点)。 特性方程式の $2$ 解を、そのまま一般項の累乗の底として使う手もある。

解 $x = 2, 3$ より、一般項は $a_{n} = A \cdot 2^{n - 1} + B \cdot 3^{n - 1}$ の形と決め打ちする。この形なら、どんな $A, B$ でも漸化式 $a_{n + 2} = 5 a_{n + 1} - 6 a_{n}$ を満たす。

あとは初項の条件で $A, B$ を決めるだけ。 $a_{1} = 0$ 、 $a_{2} = 1$ より

$A + B = 0, 2 A + 3 B = 1.$

$2$ 式を解くと $B = 1$ 、 $A = - 1$ 。よって

$a_{n} = - 2^{n - 1} + 3^{n - 1} = 3^{n - 1} - 2^{n - 1} .$

本解と同じ答え。 $2$ 本の等比を作って引く本解に対し、こちらは答えの形を先に置いて係数だけ合わせる、という逆向きの発想だ。

ポイント

特性方程式 $x^{2} = p x + q$ の $2$ 解 $α, β$ 。
$a_{n + 1} - α a_{n}$ は公比 $β$ の等比。 $2$ 式を引いて $a_{n}$ 。

よくある間違い

特性方程式を $x^{2} - 5 x - 6 = 0$ と定数項の符号を誤り、解 $2, 3$ を取り違える。
$a_{n + 1} - 2 a_{n}$ の公比を $2$ と思い込む(正しくはもう一方の解 $3$ が公比)。
$2$ 本の等比の式を引くべきところを足してしまい、 $a_{n + 1}$ が消えず $a_{n}$ を取り出せない。